1.5.1 全称量词与存在量词（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 课标要求 素养要求 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.全称量词和全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). (1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.例如命题“平行四边形的对角线相互平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都相互平分”.　　　 2.存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. (3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). (1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词的命题，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(√) (2)存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(×) 提示　不存在x∈R，使得x2<0成立. (3)“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√) (4)∀x∈R，x2＋1≥1是真命题.(√) (5)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×) 提示　是无理数，但()2＝3是有理数. 2.(多选题)下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.有一些抛物线的开口方向向上 B.存在整数n，使n能被11整除 C.正方形的对角线相等 D.∀x∈M，P(x) 答案　AB 解析　A，B是存在量词命题，C，D是全称量词命题. 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 答案　C 解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C. 4.若非空集合A，B满足A⊆B，则(　　) A.存在x0∈A，使得x0∉B B.任意x∈A，有x∈B C.存在x0∈B，使得x0∉A D.任意x∈B，有x∈A 答案　B 解析　由子集的定义知，若A⊆B，则对任意x∈A，有x∈B，故选B. 题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别 【例1】　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B. 解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题. (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题. (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题. 思维升华　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 【训练1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解　(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0. (2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点. (3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上. 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 【例2】　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题. 思维升华　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体如下： (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找