1.4.2 充要条件（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.4.2　充要条件 课标要求 素养要求 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主梳理 1.逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. (1)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q⇒p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p⇒ q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p⇒q，且q⇒p p是q的既不充分也不必要条件 　　　自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(√) (2)四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.(√) (3)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√) (4)xy>0是x>0，y>0的充要条件.(×) 提示　“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分条件. 2.“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，AB.故选A. 3.设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　p⇒q，但q⇒p. 4.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件. 答案　充要 解析　当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1. 题型一　充要条件的判断与探求 角度1　定义法判断条件间的关系 【例1－1】　判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (3)p：|x|>3，q：x2>9. 解　(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC， 所以p是q的充要条件. (2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件. (3)由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件. 角度2　递推法判断条件间的关系 【例1－2】　已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解　(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件. (2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件. (3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要条件. 思维升华　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 【训练1】　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab＝0 B.ab>0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0 (2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分又不必要条件 (3)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________. 答案　(1)D　(2)A　(3)a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 解析　(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲. 又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件