1.3 第2课时 补集（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二课时　补　集 课标要求 素养要求 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 全集、补集的概念 (1)全集 ①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. ②记法：全集通常记作U. (2)补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 符号∁UA有三层意思： (1)A是U的子集，即A⊆U；(2) ∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；(3) ∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√) (2)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(×) 提示　要么x0∈A，要么x0∈∁UA，且有且只有一个成立. (3)设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.(×) 提示　A＝{x|0<x<1}，∁UA＝{x|x≤0或x≥1}. (4)设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则∁UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}.(×) 提示　全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的∁UA是错误的. 2.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝(　　) A.{1，2} B.{3，4，5} C.{1，2，3，4，5} D.∅ 答案　B 解析　∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{3，4，5}. 3.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝(　　) A.{x|x<1} B.{x|x≤1} C.{x|x>1} D.∅ 答案　A 解析　由补集的定义，结合数轴可得∁UA＝{x|x<1}. 4.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∪B)＝________. 答案　{5} 解析　∵A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U(A∪B)＝{5}. 题型一　补集的基本运算 【例1】　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM＝(　　) A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2<x<2} C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2} (2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________. 答案　(1)A　(2)2 解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知 ∁UM＝{x|－2≤x≤2}. (2)由题意可知解得a＝2. 思维升华　求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合. 【训练1】　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁UA＝________. (2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________. 答案　(1){x|x＝－3或x>4}　(2)－3 解析　(1)借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}. (2)∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}， ∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3. 题型二　集合交、并、补的综合运算 【例2】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图. 则∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}. 所以A∩B＝{x|－2<x≤2}； (∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}； A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}. 思维升华　1.求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 2.求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分. 【训练2】　已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}. 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∪B)；(