1.2 集合间的基本关系（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.2　集合间的基本关系 课标要求 素养要求 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养. 自主梳理 1.子集的相关概念 (1)子集、真子集、集合相等概念 ①子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. ②集合相等 一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. ③真子集的概念 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 集合符号的辨析 (1)符号⊆，，⊇，，＝表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包含“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包含“”和“＝”两种情况. (2)符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.　　　 (2)空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集. 2.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C： ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC； ③若A⊆B，A≠B，则AB. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)1⊆{1，2，3}.(×) 提示　“⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系. (2)任何集合都有子集和真子集.(×) 提示　空集只有子集，没有真子集. (3)∅和{∅}表示的意义相同.(×) 提示　∅是不含任何元素的集合，而集合{∅}中含有一个元素∅. 2.①0∈{0}，②∅{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}(a≠b)，上面关系中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，∵a≠b集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B. 3.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 答案　B 解析　根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B. 4.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________. 答案　－1　0 解析　由两个集合相等可知b＝0，a＝－1. 题型一　集合关系的判断 角度1　概念间的包含关系 【例1－1】　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　) A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P 答案　B 解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B. 角度2　数集间的包含关系 【例1－2】　(多选题)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A.∅⊆A B.－2∈A C.{0，2}⊆A D.A⊆{y|y<3} 答案　ACD 解析　由题意得A＝{0，2}，且空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误，故选ACD. 思维升华　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 【训练1】　(1)我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________. (2)已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则(　　) A.A∈B B.AB C.BA D.B⊆A 答案　(1)NZQR　(2)B 解析　(2)由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有AB. 题型二　子集、真子集个数问题 【例2】　(1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个. 答案　∅，{a}，{b}，{c