专题16 圆锥曲线转韦达定理结构：斜率和积、夹角、数量积、垂直、直径的圆过定点-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题16圆锥曲线转韦达定理结构：斜率和积、夹角、数量积、垂直、直径的圆过定点 考点预测 例1．（2021·辽宁沈阳·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线交抛物线于不同的两点，为坐标原点，且求证：直线恒过定点，并求出这个定点. 例2．（2021·山东·莒县教育局教学研究室高二期中）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于，两点，求证：． 例3．（2021·安徽·芜湖一中高二期中）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点． （1）求P点的轨迹C的方程； （2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值． 例4．（2021·广东·高二阶段练习）已知椭圆两点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． 过关测试 1．（2021·山东·高二月考）已知椭圆的方程为，左、右焦点分别是，，若椭圆上的点到，的距离和等于. （1）写出椭圆的方程和焦点坐标； （2）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，，若为钝角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 2．（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程． 3．（2021·全国·高二期中）已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点为椭圆上一点，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由. 4．（2021·江西·上高二中高二月考（文））已知椭圆的中心在原点，左焦点为，长轴长为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过左焦点的直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程. 5．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0． 6．（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点．当点异于、时，直线、的斜率分别为、，则是否为定值？请说明理由； 7．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上． （1）求E的方程； （2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值． 8．（2021·天津三中高二期中）设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与 C 交于两点，短轴长为2 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上． 9．（2021·江苏徐州·高二期中）已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标； （3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点． 10．（2021·江西·抚州市临川区第十中学高二阶段练习（文））已知曲线C上一点P到点F的距离比它到轴的距离大；过点且斜率为1的直线与C交于两点. （1）求曲线C的方程； （2）求的值. 11．（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））设椭圆过两点，O为坐标原点 （1）求椭圆E的方程; （2）设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 12．（2021·天津河西·高二期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为､，点为椭圆上的动点，当点为短轴顶点时，△的面积为，椭圆短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过定点且与椭圆交于不同的两点，，点是椭圆的右顶点，直线，分别与轴交于､两点，试问：以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 13．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，椭圆E的长轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交☉C：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点. 14．（2021·陕西·西安高级中学高二期中（理））如图，椭圆E： ( a > b >0)经过点 A (0，—1)，且离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）经过点(1，1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点P，Q(均