专题14 圆锥曲线的弦长及面积问题-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题14 圆锥曲线的弦长及面积问题 考点预测 1.弦长公式 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 例1．（2021·宁夏·银川一中高二期中（文））已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）求的面积. 【解析】 （1）由准线方程为知，，故； 则抛物线方程为. （2）由题知直线的斜率显然不为0，又其过点 故设直线l的方程为，， 联立抛物线方程，化简得 则， 由线段的中点为知，， ，代入韦达定理知，， 整理得：，解得， 故直线的方程为 则 . 故的面积为. 例2．（2021·全国·高二单元测试）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆上焦点，且与直线相切． （1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程； （2）过作两条互相垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值． 【解析】 （1）由已知可得， 则所求椭圆方程， 由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为， 则动圆圆心轨迹方程为． （2）当直线的斜率不存在时，， 此时， 从而， 设直线的斜率为，则，直线的方程为：， 直线的方程为，设，，，，，，，， 由，消去可得， ， 由，消去得， 由抛物线定义可知：， ， 令，，则， 则， ∴， 综上，， ∴四边形面积的最小值为8． 例3．（2021·黑龙江·密山市第一中学高二期中）已知抛物线，坐标原点为O，焦点为F，直线． （1）若l与C只有一个公共点，求k的值； （2）过点F作直线交抛物线C于A，B两点，点，若的面积等于，求直线的方程． 【解析】 （1）（1）依题意，消去x得， ①当时，显然方程只有一个解，满足条件； ②当时，，解得； 综上，当或时直线与抛物线只有一个交点． （2）抛物线，所以焦点，显然斜率不等于0， 设直线方程为，设，， 由，消去x得， 所以，， 所以， 因为， 所以，， ∴，直线的方程为． 过关测试 一、单选题 1．（2021·重庆市中山外国语学校高二期中）直线y＝x+m与椭圆交于A，B两点，若弦长，则实数m的值为（ ） A． B．±1 C． D．±2 【答案】B 【分析】 联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，结合求得的值. 【详解】 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝， 所以弦长|AB|＝＝＝， 由题意可得：＝，解得：. 故选：B 2．（2020·安徽·合肥市第六中学高二期末（理））若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设.由得，由韦达定理得，因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以即， 由抛物线的性质可知，再结合条件有，进而得而出答案. 【详解】 设.由消去，得， 故，解得，且. 由，且成等差数列， 得，得， 所以，解得又，故， 故选：D 【点睛】 圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点，解题的一般方法是设出交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，再通过韦达定理结合题意求解。 3．（2021·重庆一中高二期中）过双曲线左､右焦点分别作倾斜角为的直线与双曲线相交于轴上方两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 的方程为，解得得到，同理计算得到答案. 【详解】 ，则的方程为：，联立方程， 解得，（舍去负值），故； 同理可得：，故. 故选：C. 4．（2021·全国·高二专题练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（ ） A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 【答案】B 【分析】 根据等轴双曲线的方程特点设所求的双曲线方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与直线y＝x联立求A，B的坐标，利用弦长公式求|AB|,结合关系|AB|＝2列方程求a，由此可得双曲线方程. 【详解】 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2， ∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3， 故选B. 5．（2019·福建省永春第一中学高二期末（文））过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】 右焦点为，斜率不存在时直线的方程为，代入双曲线方程可得弦长， 斜率不存在时设，设出直线的方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出求出得值即可得出正确答案. 【详解】 双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，