专题10 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程问题与轨迹问题-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题10椭圆、双曲线、抛物线的标准方程问题与轨迹问题 考点预测 1.求曲线方程的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y). ②写出动点P满足的几何条件. ③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。 ⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。 2.椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 要点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 3.椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 4.双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 5.双曲线的标准方程： （1）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 6.椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 7.抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 8.抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 例1．（2021·北京八十中高二期中）已知椭圆两个焦点分别为，离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）P是椭圆C上的点，且，求三角形的面积. 例2．（2021·江苏淮安·高二期中）在①；②；③轴时，这三个条件中任选个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______. （1）求抛物线的标准方程. （2）若直线与抛物线交于两点，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 例3．（2021·湖北·黄冈天有高级中学高二阶段练习）已知双曲线. （1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率. 例4．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，． （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于，两点，是否为定值，若是求出该定值，若不是说明 例5．（2021·全国·高二专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程： （1），焦点在轴上的双曲线的标准方程； （2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． 例6．（2021·全国·高二专题练习）完成下列问题： （1）已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为，求该双曲线的方程. （2）已知圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 过关测试 一、单选题 1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知，，，的周长为14，则点的轨迹方程（ ） A． B． C． D． 2．（2021·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·河北·石家庄市第十五中学高二期中）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·全国·高二单元测试）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·北京市第十九中学高二期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·河北·邯郸市永年区第二中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 7．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）若方程表示的曲线为C，则（ ） A．是C为椭圆的充要条件 B．是C为椭圆的充分条件 C．是C为双曲线的充分不必要条件 D．是C为双曲线的必要不充分条 8．（2021·湖南·长沙一中高二