专题08 圆与圆的位置关系-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08 圆与圆的位置关系 考点预测 1.圆与圆的位置关系： (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含. 3.两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 5.圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 例1．已知关于、的方程． （1）若方程表示圆，求的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于、两点，且，求的值． 【解析】 （1）解：由已知可得，解得. （2）解：圆的标准方程为，该圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，其中，该圆圆心为，半径为， 由于两圆外切，则，解得. （3）解：圆的圆心到直线的距离， 由勾股定理可得，解得. 例2．已知在平面直角坐标系中，点，半径为1的圆C的圆心在直线上． （1）若圆C被直线所截得的弦长为，求圆C的标准方程； （2）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围． 【解析】 （1）设圆C的圆心为，由圆C被直线所截得的弦长为可得：圆心到直线的距离 即：，解得：或 即圆心为或， 所以圆的标准方程为：或 （2）设圆C的圆心为，由可得： 即： 这样M为圆C与圆的公共点 所以，即 解得： 所以圆心C的横坐标的取值范围是． 例3．已知圆与． （1）过点作直线与圆相切，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求的长． 【解析】 （1）解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为． 若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件． 若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即： 由与圆相切可得：，解得： 所以的方程为：，即： 综上可得的方程为：或． （2）联立两圆方程得：， 消去二次项得所在直线的方程：， 圆的圆心到的距离， 所以. 例4．已知⊙M：，直线l：，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）试判断直线l与⊙M的位置关系； （2）当最小时，求直线AB的方程． 【解析】 （1）⊙M化为，圆心，半径， M到直线l的距离为，所以直线与圆相离. （2）如图，连接，四边形的面积为， 要使最小，则需四边形的面积最小， 即只需的面积最小，因为，所以只需最小， 又， 所以只需直线上的动点到点M的距离最小， 其最小值是圆心到直线的距离，此时 所以直线的方程为 由，解得，所以，所以点四点共圆， 所以以点PM为直径的圆的方程为，即， 联立两个圆的方程得直线AB的方程为：. 过关测试 一、单选题 1．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】 求出两圆的圆心与半径，根据两圆的位置关系的判定即可求解. 【详解】 已知圆的圆心到直线的距离，即， 解得或,因为,所以, 圆的圆心的坐标为，半径， 将圆化为标准方程为，其圆心的坐标为，半径， 圆心距， 两圆内切， 故选：B 2．两圆与的公切线有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】 根据两圆方程判断两圆位置关系，并判断公切线条数. 【详解】 由，， 可得，；，， ， 故两圆相外切，共有条公切线， 故选：C. 3．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ） A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0 【答案】A 【分析】 求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】 由解得两圆交点为与 因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1） 所以垂直平分线为y＝﹣x+