专题07 直线与圆的位置关系-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题07 直线与圆的位置关系 考点预测 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离. (2)几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离. 2.圆的切线方程的求法 （1）点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是. 3.求直线被圆截得的弦长的方法 （1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=． 例1．（2021·宁夏·平罗中学高二期中（文））经过点的直线与圆相交于A、B两点. （1）当P恰为AB的中点时，求直线AB的方程； （2）当|AB|=8时，求直线AB的方程. 【解析】 （1）由已知圆的圆心的坐标为，半径， ∵ 直线与圆相交于A、B两点，P为AB的中点， ∴ , ∴ 直线与直线的斜率乘积为-1，又直线的斜率， ∴ 直线的斜率为-2， ∴ 直线AB的方程，即， （2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，即，圆心到直线的距离，又圆的半径， ∴ ，又, ∴ ， 解方程可得，， ∴ 直线的方程为， 过点的斜率不存在的直线为，代入圆的方程可得， ∴ 直线与的交点坐标为，, 由此可得，满足要求， ∴ 直线AB的方程为和. 例2．（2021·江苏滨湖·高二期中）已知直线：与圆：． （1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【解析】 （1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以直线恒过定点； （2）由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线恒过定点， 当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （3）由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，. 例3．（2021·辽宁沈阳·高二阶段练习）已知圆：，直线：（）. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若圆C上有三个不同的点到直线的距离为，求此时的直线方程. 【解析】 （1）解：，所以， 所以直线经过定点. 因为，所以定点在圆内， 所以直线和圆相交. （2）解：由题得圆的圆心为，半径为, 因为圆C上有三个不同的点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 所以直线的方程为. 过关测试 一、单选题 1．（2021·全国·高二课时练习）直线和圆的交点个数（ ） A． B． C． D．与，有关 【答案】C 【分析】 圆题意可知直线恒过 圆内的定点，故可得直线与圆相交，即可判断 【详解】 解：因为直线可化为， 所以直线恒过定点， 因为 则点在圆内， 故直线过圆内的点，与圆相交，即交点个数为2. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，解题的关键是发现直线恒过定点且定点在圆内. 2．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）设A、B是直线与圆的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题设，求过垂直于的直线方程即可. 【详解】 由题设，求过圆心且与直线垂直的直线方程，即， ∴所求直线为. 故选：B 3．（2021·云南·富宁县第一中学高二阶段练习（文））已知直线与圆有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 把直线与圆相交等价转化为圆心到直线距离小于半径，即可列式计算而得. 【详解】