专题05 直线的交点、距离公式与对称、最值问题-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题 考点预测 1.直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 2.两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 3.点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 4.两平行线间的距离 直线与直线的距离为. 例1．（2021·全国·高二课时练习）已知直线的方程为． （1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值． 【解析】 （1）当时，直线的方程为， 令，得； 令，得， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． （2）证明：将直线的方程整理得， 由，得， 所以直线恒过点， 所以不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则， 所以动点到定点，距离之和为， 所以当，，三点共线时，最小， 此时． 例2．（2021·海南·海口一中高二期中）已知△ABC的三个顶点A(m，n)、B(2，1)、C(－2，3). （1）求BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，且，求点A的坐标. 【解析】 （1）因为B(2，1)、C(－2，3)，所以BC边所在直线的方程为： ； （2）BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，所以有， 点A到直线BC的距离为：， ，因为 ， 所以有， 因此有或 ，解得：或， 所以点A的坐标为：或. 例3．（2021·重庆市第十一中学校高二阶段练习）已知三条直线：，：，：，若与的距离是. （1）求的值. （2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件： ①是第一象限的点；②点到的距离等于点到的距离；③点到的距离是点到的距离之比是，若能，求出点坐标；若不能，说明理由. 【解析】 （1）， 与间的距离为， ，； （2）设点， 由条件②知，点在直线上， 且， ，， 由条件③知，， ，即或， 因为点在第一象限，，（舍）， 或， 解得（舍）， ， 所以不存在点同时满足①②③. 过关测试 一、单选题 1．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知，，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 根据两点间距离公式即可求解. 【详解】 因为，， 所以， 故选：C. 2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】 求出点P关于y轴的对称点和关于直线的对称点，然后可算出答案. 【详解】 点P关于y轴的对称点的坐标是. 设点P关于直线的对称点为，则，解得 故光线所经过的路程. 故选：D 3．（2021·江苏丹阳·高二期中）已知直线l：，直线m：，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】 求出两直线的交点，利用交点在第一象限得出关于k的不等式，解之即可得解. 【详解】 因为直线l：，直线m：相交，，即 联立，解得 又直线l与m的交点在第一象限，，解得 故选：A 4．（2021·重庆一中高二期中）设实数，满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】 根据题意得到表示直线上的点与点的距离，从而利用点到直线的距离公式即可求得最小距离. 【详解】 ， 所以表示直线上的点与点的距离， 所以最小值为. 故选：C. 5．（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先由，求得直线的交点坐标，代入直线，得到，然后将点到原点的距离的最小值，转化为原点到直线的距离求解. 【详解】 由，解得， 所以直线的交点为， 因为交点在直线上， 所以， 所以点到原点的距离的最小值为， 故选：D 6．（2021·四川·树德中学高二期中（理））已知两直线与，则与间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解. 【详解】 直线的方程化为：，显然，， 所以与间的距离为. 故选：B 7．（2021·四川省绵阳江油中学高二阶段练习（理））直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】 因为和关于