专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题 考点预测 1.设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有． 2.设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有． 3.设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则． 4.点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算． 30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为． 5.点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为． 例1.（2021·天津市第四十七中学高二期中）1.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，M是的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成的角是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 例2．（2021·山东师范大学附中高二期中）四棱锥的底面是梯形，，，平面，，，M为线段的中点 （1）求二面角的余弦值 （2）线段上是否存在一点N，使平面？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 例3．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，，点P在侧棱上． （1）当点P为侧棱的中点时，求直线与直线CP所成角的余弦值； （2）当点P与点重合时，求点到平面PAC的距离； （3）求直线与平面ACP所成角的正弦值的最大值． 例4．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离； （3）求平面AEC1与平面CFEC1夹角的余弦值． 过关测试 一、单选题 1．（2021·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点E为的中点，点F在BC的延长线上且，则异面直线BE与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·北京·北大附中高二期中）如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A．异面直线与直线所成的角的大小 B．平面与平面所成的角的大小 C．直线到平面距离的大小 D．异面直线，之间的距离的大小 3．（2021·全国·高二课时练习）在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（ ） A．1 B． C．3 D．2 4．（2021·河北省晋州市第二中学高二期中）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·全国·高二课时练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A． B． C． D． 6．（2021·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 7．（2021·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 8．（2021·河北·高二期中）如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，E是的中点，F是上一点，当时，（ ） A．3 B． C． D．2 二、多选题 9．（2021·广东·佛山市超盈实验中学高二阶段练习）在长方体中，，则下列结论正确的（ ） A．点到平面的距离为 B．与平面所成角的余弦值等于 C．平面与平面所成角的正弦值为 D．在棱上不存在点，使得平面 10．（2021·全国·高二专题练习）已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则（ ） A．A1D与B1D1是异面直线 B．A1D与EF所成角的大小为45° C．A1F与平面B1EB所成角的余弦值为 D．二面角C－D1B1－B的余弦值为 11．（2021·福建·泉州科技中学高二期中）在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 12．（2021·全国·高二期中）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，平面PAD平面ABCD，点E为底面ABCD的中心，点F为线段PA上的动点，则下列结论正确的是（ ） A． B．存在点F，使得 C．存在点F，使得 D．存在点F，使得直线CF与直线PE为异面直线 三、填空题 13．（2021·广东·顺德市李兆基中学高二期中）已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点