专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题 考点预测 1.设，，则 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）若.为非零向量，则． （6）若，则． （7）． （8）． （9），，则． 2.在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量． 3.空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点． 4.空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置． 5.直线的方向向量和平面的法向量 ⑴直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. ⑵平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. ⑶平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为． ③求出平面内两个不共线向量的坐标． ④根据法向量定义建立方程组. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. （如图） 6.用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 7.用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即. ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 例1．（2021·山东·高二阶段练习）如图，已知四棱锥，底面是矩形，且平面，、分别是、的中点.（用向量法解决下列问题） （1）求证：，，共面. （2）求证： 【解析】 （1）如图，以为原点， 分别以，，分别为轴，轴，轴的正方向 建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， ，，， 所以， 所以，，共面. （2）因为， 所以， 所以，所以. 例2．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【解析】 （1）证明：以D为坐标原点，，，的方向 分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)， D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于＝(0，1，－1)， 则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. （2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量， 由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 则， 即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 例3．（2021·北京通州·高二期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）求平面的法向量； （3）求点到平面的距离． 【解析】 （1）因向量，，则， 于是得， 所以向量在向量上的投影向量. （2）因向量，，则，由(1)知， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以平面的法向量. （3）由(2)得点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 过关测试 一、单选题 1．（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据空间直