专题01 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 空间向量及其运算 考点预测 1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． （2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作． （4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量． （5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法： （1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则． 3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍． 4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：；结合律：． 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则． 9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：． 10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作． 11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为． 12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 13若，为非零向量，为单位向量，则有 ；； ，，；；． 14数量乘积的运算律： ； ； ． 15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得． 16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标． 例1．（2021·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，． （1）确定在平面上的投影向量，并求； （2）确定在上的投影向量，并求． 例2．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，， （1）用，，表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 例3．（2021·山东平邑·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，. （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角的大小. 过关测试 一、单选题 1．（2021·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）. A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若，则是锐角 2．（2021·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）如图，在正方体中，点E在上，且，点F在体对角线上，且，则下列说法正确的是（ ） A．E，F，B三点共线 B．，B，C，D四点共面 C．，E，F三点共线 D．，E，F，B四点共面 4．（2021·北京通州·高二期中）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A． B． C． D． 5．（2021·云南省玉溪第一中学高二期中（文））已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为（ ） A．6 B． C． D． 6．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（ ） A． B． C．2 D． 7．（2021·全国·高二课时练习）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D，C到