5.3统计与概率的应用（题型归纳+课后作业） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他版本可能会出现乱码等现象. 第五章 统计与概率 5.3 统计与概率的应用 题型归纳 题型一.统计的应用 1．某市约有30万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值a，若居民某月用电量不超过a度则按第一阶梯电价标准收费，价格为0.5元/度；若某月用电量超过a度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为b元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了200户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）． （1）若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值a应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数； （2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过a度的居民用电量保持不变；月用电量超过a度的居民节省“超出部分”的40%，试估计全市居民每月节约的电量； （3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价b．（结果保留两位有效数字） 【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，区间[0，160]的频率总和恰为0.7， 由样本估计总体，可得临界值a的值为160， 众数为（120，160]的中间值140， 平均数为20×0.04+60×0.12+100×0.24+140×0.3+180×0.25+220×0.05＝130． （2）由（1）知，月用电量在[0，160]内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为0度， 月用电量在（160，200]内的50户居民，平均每户用电180度，超出部分为20度， 根据题意，每户每月节电20×40%＝8（度），50户每月共节电8×50＝400（度）， 月用电量在（200，240]内的10户居民，平均每户用电220度，超出部分为60度， 根据题意，每户每月节电60×40%＝24（度），10户每月共节电24×10＝240（度）， 故样本中200户居民每月共节电400+240＝640（度）， 用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为（万度）． （3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变， 故“超出部分”对应的总电费也不变， 在200户居民组成的样本中，每月用电量共超出20×50+60×10＝1600度， 实行“阶梯电价”后，共节约640度，剩余960度， 所以1600×0.5＝960×b，解得b≈0.83． 2．在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 168 167 165 186 a b c d 178 158 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176 由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7． （1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（2s，2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？ （2）使用统计学的观点说明，（2s，2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？ （参考公式：s2（xi）2（xi2﹣n2）） 【解答】解：（1）由平均数为，标准差为s＝7，所以区间（2s，2s）＝（158，186）， 不在该区间内的数据有158和186，剔除后，剩余18个数据， 其平均数为， 方差为：， （2）（2s，2s）以内的数据与原数据对比，有以下特点： ①（2s，2s）以内的数据占总数据个数的90%， 说明该校90%左右的男生身高都在区间（158，186）以内； ②（2s，2s）以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化； ③原数据的方差为49，而（2s，2s）以内的数据的方差约为32.67，方差变小了， 说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性． 题型二.概率的应用 1．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽