第3章 第4节 幂函数（Word教用）-2022版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第四节　幂函数 1．幂函数的图象与性质 (1)常见的5种幂函数的图象 (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当a<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内．　 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 考点一　幂函数的图象与性质 (1)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 (2)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b (3)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 【解析】　(1)设f(x)＝xα，由已知得α＝， 解得α＝－1， 因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数． (2)因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C． (3)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D． 【答案】　(1)A　(2)C　(3)D [针对训练] 1．(多选)已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2,8)，下列说法正确的是(　　) A．函数y＝xα的图象过原点 B．函数y＝xα是偶函数 C．函数y＝xα是单调减函数 D．函数y＝xα的值域为R 【解析】　选AD．因为幂函数y＝xα的图象过点(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以y＝x3.函数y＝x3的图象过原点，所以A选项中说法正确；函数y＝x3是奇函数，所以B选项中说法错误；函数y＝x2在R上递增，所以C选项中说法错误；函数y＝x3值域为R，所以D选项中说法正确． 2．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 【解析】　易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以解得－1≤a<. 【答案】　 考点二　二次函数的图象与解析式 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】　法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得 解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a2＋8.因为f(2)＝－1， 所以a2＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式)： 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【名师点评】 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下： [针对训练] 3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1,11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 【解析】　选A．因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1　①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6　②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A． 考点三　二次函数的性质及其应用 已知函数f(x)＝x3＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数的实数a的取值范围； (2)当a＝－1时，求f(|x|