第三讲 函数及其性质-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

第三部分函数及其性质 1.函数的根与零点 整系数多项式根的一个非常重要的定理:若既约真分数(即(p,q)=1,p、q∈N 为整系数多项式。ax+an1x1+…+ax+an的根,则p{anqa 推论1:首项为1的整系数多项式的有理根必是整数根. 推论2:整系数多项式的整数根必是常数项ao的约数 2.反函数 1)函数与反函数图象间的关系 函数y=f(x)和它的反函数y=(x)的图象关于y=x对称若点(ab) 在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f(x)的图象上 (2).反函的几个简单命题 )一个奇函数y=f(x)如果存在反函数那么它的涵数y=(x)定是奇函数 )一个函数在某囟间增(减)函数,并且存在反泼, 那么它的反涿数在相间出是增曾(减)函数 3.抽象函数 不给出具怖析式,只给出数的殊条件鸢精徹的洳函数。 抽象函数的魁开式为y=f(x) 解决抽象函数问题的几种常用方法 寻找原函数方法:赋值法;定义法;导数法;图像法等 典型例题 例:若函数f(x)=x2+a|x-1在[0,+∞)上单调递增, 则a的取值范围为 x2-ax+a,0≤<x<1 解:f(x) x2+ax-a,1<x<+∞, 函数f(x)在01)上单调递增台≤0a≤0; 2 函数f(x)在[,+∞)上单调递增→-≤1a≥-2 故a的取值范围为2,0 例:设ab为不相等的实数,若二次函数f(x)=x2+ax+b满足 f(a)=f(b),则f(2)的值为()。(2016全国联赛第1题) 19分的f(a)=f(b)的b2a+b)=0 的a≠b的的分+b=0.余2)=4+2a+b=4 20众a=f(b)印 b 价分+b=0 2 2 所2)=4+2a+b=4 例:将函数y=√4+6x-x2-2(x∈[06)的图像绕坐标原点 逆时针方向旋转角θ(0≤0≤),得到曲线.若对于每一 个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图像,则tana的最 大值为 分析:y=y4+6x-x2-2→(x-3)+(y+2)2=13 y AyA C B B X 0(3-2) X X 2 (tan 0 max 例:已知/()=24+b,g81)(a)-1,.共中aC为已知务数,1a0,c>0 以下判断正确的有 ①f(x)关于(0)中心对称 ②f(x)可能在(0,+∞)上单调递增 ③f(x)有界; ④g(x)=0的解可能为{士1±2}: 解对于①,不难验证f(x)+/(-x)=2b成立,于是f(x)关于(,b)中心对称 对于②,f(x)= ax +b=-a x+c C +b,注意到x+二在(0+0)上先减后增(>0), x 于是f(x)不可能在1(0+∞)上单调递增; 对于,(4+1 +=1+5成立()有界 +c +C 对于④,令a=3,C≡2,b≡0,验证其正确性。 答①3④ 【评析】清华近两年考试的新热点—在不借助导数的情况下分析函数的性质。 此题的难点在于④,答案的构造思路是这样来的 因为f(x)关于(0)中心对称,f(x)=1的根是关于0对称的四个数,所以想 到令b=0于是再令/()1的根是1和2即可从而/(x)-1的根是:1和2 得到a=34C=2b=0,满足题意。 例:设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2 若对任意的x∈[a,a+2,不等式f(x+a)≥2(x)恒成立,则 实数a的取值范围是 解:因为0是定义在R上的奇函数,且当时, 难 所以f(x) x≥0 故有2f(x)=f(√2x, rr< 0 故f(x+a)≥2f(x)分f(x+a)≥f(2x) 因为角是R上的增函数,所以x+a≥√2x a≥(2-1)x→a≥(-1)(a+2)→a≥√2 说明:由函数故x)的解析式得到2/()=八(2x)是解答本题的关键。 例:设函数()x+(x+1+x),则对于任意的实数 ab,a+b<0是f(a)+f(b)<0的 A.必要不充分, B.充分不必要, C.充分且必要, D既不充分也不必要。 解题分析:a+b<0÷a<-b→f(a)<f(-b) >(a)<-f(b)→(a+f(b) 解:设 x xX∈ R g(x)+g(-x)=l(x+y1+x2)+(-x1+x2)=hl=0 所以g(x=m(x++x)是R上的奇函数 1 又8(小)hm(x+51x)的导数为g(=M+x>0, x+√1+x 故g(x)在R上是增函数 所以f(x)=x+m(x+1+x2)在R上是增函数,故 a+b<0分a<-b分f(a)<f(-b)分 f(a)<-f(b)台f(a)+f(b)<0选c