第七讲 平面向量-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

第七讲平面向量 补充知识 三角形四心的表示方法 O是三角形的外心:O=OB=OC<OA=O=Oc O(OA+OB).AB(OBOC.BC=(OC+OA).CA=0 O是三角形的垂心:OA.OB=OB.OC=OC.OA O是三角形的重心:<OA+OE+OC=0 O是三角形的内心: OBC.OA+CcA,OB+ABOC=0 2.向量积(外积、叉积) 向量a与b的外积为=a×,a×b= a sin e向量积 (其中0为a与b的夹角,c的方向既垂直a又垂直 于b.指向符合右手规则 关于外积的说明 (1)axb=0.(∵=0→sin=0) (2)a‖b冷axb=0.(a≠0,b≠0 (3)若中有一个为零向量,则规定 外积符合下列运算规律 ①反交换律:a×b=-bxa ②若为任何实数,(A×b+)=aX(b)=axb) ③分配律:ax(b+C)=axb+a,(a+b)×C)=axC+bx 外积的几何意义: a×b= g6 sin(表示以a和b为邻边的 平行四边形的面积 典型例题 例:设点O在△ABC内部,点D,E分别为边AC,BC的中点, 且OA+20B+0(=2,则OD+20E=() OA+20B+30CI OA+OC+2(0B+OC B E 2OD+40E=20D+20E=2 OD+20E=1 例:若平面向量a=(2,-1)与=(2-12)垂直,其中m为实数, a的模为 解:令2=t,则t>0 条件等价于t1(t-1)+(-1)2=0,解得t=3 因此a的模为√32+(-1=√0.答案:√0 例:平面向量a,b夹角为a,若al,b,a+b依次成等差数列, 求a|:b:{a+b 解设a|=x,b|=y,a+b|=z,则 x2=22+y2+2xy cos=22+y2+ay 因为a|,b,a+b依次成等差数列,所以(2y-x)2=2 →(20-x)2=4y2+x2-4y=x2+y+xy →3y2=5y→y=x 25 49 → x2+x2+ 9 3 9 →2=3所以 x:y:z=3:5:7. 例:设e,e2为平面上夹角为0(0<O≤)的两个单位向量,O为 平面上一个固定点,P为平面上任意一点当OP=x+ye1时, 定义P(x,y)为点P的斜坐标,现A,B两点的斜坐标为A(x1,y1) B(x2y2),则AB之间的距离为 解:(法一)AB=OB-OA=(x2-x1)e1+(y:-y1)e2, 则A,B两点之间的距离为 AB|=√(x2-x1)e1+(y2-y1)e2 =√(x2-x1)2+(y2-y1)2+2x2-x1)(y2-y1)1·c2 =√(x2-x1)2+(2-y1)2+2(x2-x1)(y2-y1)s0 解:以e为x轴建立坐标系,任意一点P的斜坐标 P(x,y)所对应直角坐标为P(x+ycos, yin g A点对应的直角坐标(x+1cos, Vi sin e) yin 8 e2 e1 日 B点对应的直角坐标(x2+y2cosO,y2sinO) o x A y cos e B A(x,+ y, cos 0, y, sin 0) B(x,+y, cos0, y, sin 0 AB=(x,-x2+y, cos 0-y2 0)+(y, sin 0-y2sin O) =(x1-x2)2+(n1-y2)2+2(x1-x2)(y-y2)cose AB|=√(x1-x2)2+(1-y2)2+2(x-x2)1-y2)co 9000△ABC争BC=a,AC=b,AB=c的0 台AC+OB.BA+OCCB的护 E 解:过O点作AC的垂线,垂足D为AC中点, b 则OAAC=DAAC ACI 2 2 BB c的价的创 a tb+ c 例已知向量a≠∈=1满足:对任意t∈R,恒有e-a≥e-a。则() A.a⊥eB.a⊥(a C. el(a-e D(atel(a-e) 解法1:分别作出aBtg-a, C 使向量a已有相同起点, 如图所示:因为在直角三角形中, →|e-a e-a 直角边不大于斜边,所以e(a9)。 o te a B C