第十五讲 组合数学-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

组合数学 第十五讲 组合数学 一、集合有关的问题 解：方法1：直接运用公式： 设两项都及格的有x人，则： 40-x+x+31-x+4=50 X=25(人） 方法2：韦恩图 二、组合恒等式问题 另一方面 方法二（构造模型） 由加法原理得： 三、构造方法 构造可以从极端的情形入手，逐渐逼近要证明的结论。 8组内每组的1,2,3,4，5,6,7,8名都能排好顺序 排序问题有多种解决方案，可以参考组合数学中有关内容， 构造一种符合题意的排序方案，可从平均分组下手。 北方队总得分不少于北方队内部总得分 解得： 因为11×15=165<189 综上所述，冠军是一支南方球队。 四、覆盖问题 “有数条”意味着有限，而直线是不能被 有限条线段覆盖的，这是本题的关键。 五、染色问题 把六个区域按题意合并成四个区域共有 种不同合并方法 四个区域栽种四种不同鲜花共有种 不同的栽种法 本题是应用抽屉原理的典型例子，关键在于利用颜色构造抽屉． 解：至少要染7种颜色． 下面证明这种染色方案符合要求。 三式相加： 综上，至少染7种颜色。 对同一个对象，通过两种不同的角度进行计算，是解决 这类问题的重要方法，构造一个实例是证明的重要组成部分． 证明：每一行的数从左至右递增，理由如下 $