第十三讲 平面几何-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

第十三讲平面几何 平面儿何的有关知识延伸 三角形“五心” 1.重心:三角形三条中线交于一点。 Ag 2 AD (2)AD4 4 2AB2+2AC2-BC2) (3)S 3S △ABC △GBC 2外心:三角形三条边中垂线交于一点 A )OA=OB=OC abc △ABC 4R 3.内心:三角形三条内角平分线交于一点。 △ABC = erla+b+c 2 2).4≈l +6+c-a 2 C 4.垂心:三角形三边的高线交于 A,B,E,F四点共圆 H,E,C,F四点共圆, ∠HAF=∠HBE 5旁心:三角形的一条内角平分线和另外两条外角平分线交于一点 (1)S4Bc=r(b+c-a, 2 AP=a+b+C A 23 2 BP b 2 平面几何的几个基本定理 1.三角形内(外)角平分线定理 BD AB ∠1=∠2→ DC AC 2.圆幂定理 相交弦定理 切割线定理 割线定理 C PA·PB=PC·PD Pt=PB.PA PA·PB=PC·PD 圆内角 圆外角 C P ∠D、l AD+ CB APD=-(AD-CB 2 2 平面几何中重要定理 1.赛瓦定理:如图,设S为三角形ABC三边所在直线外一点,连结 AS,BS,CS分别和三角形的三边的延长线交于P,Q,R,则 BP CO AR PC DA RB A Q R C C 例:已知0为三角形ABC内一点,且满足 ∠BAO=∠CAO=CBO=∠ACO 求证:三角形三边的长构成等比数列 证法1.如图所示设∠BAO=∠CAO=CBO=∠ACO=a,∠ABO=B,∠BCO=y 则4a+B+y=兀,由角元形式的塞瓦定理,可得 Sin a sin B siny sIna sin a sin al 即sin22a=sinβ Bsin y, 下面证明三边的长成等比数列即BC2=AB·AC 因为BC2=AB,AC<sin22a=sin(a+B)sin(a+y) coS 4C 2 2 cos(B-y) -cos(2a+B+y) →1cos(β+y)=cos(B-y)+co2a 冷冷1+ cos B cosy-sinβsiny= cos B cos,+ sin Bsin y+1-2sin2o <sin Bsin y=sin 2a 题目条件中明显有AO、BO、CO三线交于一点O的条件,但没有给出这3条线段 与对边的交点,且还给出了与角度有关的条件,可考虑应用角元形式的塞瓦定理,再 结合分析的方法,可以找到一条寻求解决问题的途径.本题是非常典型的一道习题, 角形内满足∠BAO=∠CBO=∠ACO=0的点O称为△ABC的布洛卡点布洛卡 点的一个基本性质是cotA+cotB+cotC=cot 角元塞瓦定理:P、Q、R分别为△ABC的三边BC、CA、AB上的点, 三条线段AP、BQ、CR交于点S,则肌∠BAS.sm∠ACs.sin∠CBS=1 sin∠ SAC sin∠ SCB sin∠SBA 例:如图所示,在四边形ABC中,AC与BD交于点P,且 ∠ABD=10,∠DBC=20,∠DAC=40,∠BAC=100,求∠BDC的大小 解:在三角形中ABC对∠B用角元塞瓦定理,令∠BDC=a, 则sn00os+20) 取 =80 sin 140 sina sin50° 则in100sm0%m0=100im0 故α=80,满足题意,即 ∠BDC=80 梅涅劳斯( Menelaus)定理的精彩证明 梅涅劳斯( Menelaus)定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要 的作用.对中学教学而言,它属竞赛范畤.定理的大致意思是:三角形的三亲边被一直线所 截,则有三条线段长度之比的乘积为1.具体内容如下: 梅氏定理设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有 AF BD CE FB DC EA 直线1与三角形的三边相交,有两种情形:(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的 延长线上,如图1;(2)三个交点均在边的延长线上,如图2. 图2 梅涅劳斯( Menelaus)定理在处理直线形中线段长度比例的计算时,尤为快捷.值得- 提的是,其逆定理也成立,可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法.以下收录了梅氏 定理的若干精彩证明,证明中仅以图1作为示例. 证法1:平行线法 如图3,过点C作CGDF交AB于点G,则 BD BF CE GF AF BD CE AF BF GF 故 DC FG EA FA FB DC EA FB FG FA 图 图4 证法2:共边定理法 如图4,由共边定理知 AF BD CE S 。.c=1 FB DC EA S△BEDS△cEDS△AED