第十讲 不等式-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

第十讲不等式 1.绝对值不等式 x1-1- x+ysx+y1(x,y可以是复数或向量 当且仅当x=y时等号成立 2.平均不等式 设a1 a.∈R +—+ a1 1 a,+…+a a1+a+…+a ≤Va1 < 当且仅当a1=2=…=a12时,等号成立 3.柯西不等式 设a,b∈R(=12,…n),则②)≤∑a∑b 当且仅当 时,等号成立 b. b 4.排序不等式 设有两个有序数组a≤a2≤…≤an,b≤b2≤…≤bn q4b1+a2b2+…anbn(顺序和)≥a1b+a2b1+…anb(乱序和) bn+a2bn1+…anb(反序和) 其中,2…是1,2,…,n的任意排序; 当且仅当a1=a2=…=an或b=b2=…=bn时,等号成立 5.琴生( ensen)不等式(凸涵数的性质 八1x在lab上上凸台x,x∈lb都有f(2)≥(x)+f(x) 2 (均值的函数值不小于函数值的均值) 一般的,对(内的n个点式有+巧+…+)2/(x)+/(x)+…+/(x 当且仅当x1=X2 xn时,等号成立 贝努力不等式 设n≥2,实数x1,x2…,xn,都大于-1,且它们符号相同,则有 (1+x)(1+x2)…(1+x)>1+x+x2…+x,成立;特别地 当x=x2=…=x=x>-1时,且x≠0成立,(1+x)">1+nx(x>-1,x≠0 7.两个重要结论 (1).e≥x+1(2).ln(1+x)≤x(x≥-1) 典型例题 例:设xy为正数,且x+y=1,证明x2+y2+1+1217 2 证明:x2+y2≥ xt y 2 11(x+y)(x+y)2 2+ +2(+)≥8 y式 1117 所以:x2+y2++ 2 当且仅当x=y=2等号成立 例:设x、y、z∈[0,1,则M=√x-y+y=2+V2 的最大值是 (全国高中竞赛) 解:不设0≤z≤y≤x≤1,由a+b≤√2√a2+b2得: Mx-y+y z≤√2×√x-y+y 2×√x x-y+Vy-z|+yz-xs√2x√x-z+√x M≤(2+1)x√x-z 当x=1,z=0,M≤√2+1,所以M的最大值是√2+1 柯西不等式 设a,b∈R(i=1,2,…n),则Ca)2≤∑a2∑b2 (a1b+a2b2+…+anb)2≤(a2+a2…an)(b2+b2+…+b2 当且仅当 时,等号成立 b. b a=(a1 b b=a,b+abn+∵+ b=a·|bcos(a, b)≤ 内+a2+…+ab|≤a+a2+…+·+b2+…+b2 例如:设实数x,y,z满足x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值 解:(x+2y+32)2≤(12+2+32)(x2+ x+12+z≥ (x+2y+3z)218 12+22+3 7 例:求3√x-1+45-x的最大值。 解:由柯西不等式得 (3x-1+45-x)2≤(32+42)(x-1)2+(-x)2|=100 3√x-1+4√5-x≤10 例:若实数a,b,c,d满足ab+bc+cd+da=1, 则a2+2b2+3c2+4d2的最小值为 解:因式分解可得(a+c)(b+d)=1 根据柯西不等式可得(a2+32)(1+1)≥(a+c)2 即a2+3c2≥3(a+c)2.同样地 (2+42)(↓+1)≥(b+a3,即22+4P≥4(b+) 因此a2+2b2+3c2+4d≥3(a+c)2+3(b+d)2≥ 2(a+c)(b+d)=2.等号成立条件为 a:b:c:d=3:2:1:1,其中c=d=±y3 排序不等式 设有两个有序数组a≤a2≤…≤an,b≤b2≤…≤bn a1+a2b2+…anb(顺序和 ≥ab+a2b1+…anb(乱序和) ≥abn+a2bn1+…ab(反序和) 其中i,i2…是1,2…,n的任意排序 当且仅当a1=a2=…=an或h=b2=…=b时,等号成立 例:已知xy,z>0,a,b,c为x,y,z的一个排列 求证:2+ C -≥3 (清华大学 b y z 证明:联想排序不等式 根据x,y,z的对称性,可设x≥y≥z>0 a,b,c为x,y,z的一个排列,根据排序不等式 a-+b·+c·≥x.-+y:-+z=3 X 或直接运用三项均值定理 +2+≥3 x艺