第十二讲 复数-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

第十二讲复数 1补充知识 z3=1的三个根是1,0,, 1+√3i 1-√3i ,1++2=0 0,+0=-1 2 2 以Z为圆心,r半径为的圆的方程:|z-z1=7(r>0 z=r(co+isin0),r≥0称之为复数的三角形式 r为模,θ为复角,θ∈[0,2x)称为复角的主值 z, Z,=r(cose, +isin 0). r(cose,+isin 02) =Fco(4+0)+isi(+2 r(cos0 +ising)=r"(cosne +isin ne r(cose, +isin 01) [cos(1-2)+isi(-2 z2 r,(cose2+isin e2)r, 若复数z=r(cos+isin),r≥0它的n次方根是以下n个复数 0+2k兀 0+2k兀 r(COS +i sin ,(=0,1,…n-1) re称之为复数的指数形式 典型例题 90000i-z-1=29000创省 A的B.娘C+价的子D.+的 解:题目条件转化为 9300自01)句0个(1,0)的跟2 的的台王 的0的印囗口的的 例:已知复数z,的模为2,则复数212的模为() C.2 D 2 2 2222242 422422422422 -212-212+2 4 2122-212 16-422-4z12+|1216-4z2-422+4|224 21-2 4-222 例:复数z=1+1+1+ m m为实数)的实部和虚部 均大于0,则m的取值范围是 解=1+i+ 1+ +(1 20 →-2<m<2 >0 所以m的取值范围是(-2,2) 例 2兀 2兀 z=coS-+S1n—l 求 z2+z+2 +$i<2 2丌 z三coS z =cOS2兀+sin2兀 +z+2 4 4 cOs-兀+sin-丌 4 4 2 cOs-丌+Zsin-兀+cOS—+sin 2兀;+2 1+ 22 22 +i+2 2222 例:已知为虚数的单位,设复数z满足|z|=1,则 2z+2 z-1+i 最大值() 解: z2-2z+2 22+1+1(z-1)2+ y z-1+ z-1+i 1+ Z=1+I 1+i)(z-1 z-1+i 2-(1+) z2-2z+2 1+i 的最大值为2+1 例:已知复数,z,满足如下条件 3z1-22=2-i,则zz2的值为() 解:由于|a/2=zz=4z2=z2=9 3z,-2 2 ZZZ 3 222 2 21221 z12(2z2-3z) 6(321-2 6(2-)1824 z12 (2z2-3z1) 2+ 55 例:已知|z|=1,求z2+z+4的最小值 解:设z=cos+ine, 则|+z+4|=(090)+(sno+4 cos 20+cos 0+4)+(sin 20+sin 6)2 5 25 =10+16cos26+10co86=4cos6+ +10 4)16 5 CoS 时 3、15 |z2+z+4 16 Inin 4 另解2++412+z+422=1++2=z+1+4 例:设Z0(20≠0)为复平面上一定点,Z为复平面上的动点,其轨迹方 程为,为-列=4,z复平面上另一个动点,满足Z2=-1,则Z在 复平面上的轨迹形状是( A.一条直线 B.以一为圆心,以。为半径的圆 C.焦距为2的双曲线;D.以上均不对 0 解:将2=-代人1-z0|=|2得 +以0三 C →|z+