2.1.2数列的递推关系及前n项和讲义-2021-2022学年高二上学期数学人教B版必修5

　数列的递推关系及前n项和 目标：递推关系及前n项和求通项公式 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 　(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； ②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示． 2．数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系式 an＝ 　(1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示． (2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝ 例1设数列{an}满足an＝ 写出这个数列的前5项． [解]　由题意可知a1＝1，a2＝1＋. ＝＝1＋，a5＝1＋＝，a4＝1＋＝＝2，a3＝1＋ 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区. 训练(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝，则此数列的第3项是( C ) an＋ A．1 B． C. D． (2)已知数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 022的值为( B ) A. B．－1 C．2 D．1 解析　(1)a1＝1，a2＝. ＝a2＋＝1，a3＝