第四章 3.3 第二课时 对数函数y＝logax的图象和性质的应用（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第二课时　对数函数y＝logax的图象和性质的应用 INNOVATIVE DESIGN 1.进一步熟悉对数函数的图象与性质. 2.能够利用对数函数的图象与性质解决较复杂的问题和实际问题. 课标要求 素养要求 通过对数函数性质的应用提升逻辑推理和数学运算素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.函数y＝logax(a>0且a≠1) 当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上为________； 0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)上为________. 增函数 减函数 2.函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)与f(x)＝lg(1－x2)是同一函数，均为________. 偶函数 自主梳理 /////// 索引 点睛 对于与对数函数复合的函数，在考虑单调性时一定注意真数大于零，在判断复合函数的奇偶性时先求定义域.　　　 索引 1.思考辨析，判断正误 × (1)f(x)＝lg(1＋x)的单调增区间为(－∞，＋∞).( ) 提示　f(x)＝lg(1＋x)的单调增区间为(－1，＋∞). (2)f(x)＝lg x2为偶函数.( ) (3)f(x)＝loga(1＋ax)为增函数，则a>1.( ) (4)f(x)＝|lg x|与g(x)＝lg|x|在[1，＋∞)上均为增函数.( ) √ √ √ 自主检验 /////// 索引 2.函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上的单调性为(　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析　当x>2时，函数y＝log2|x－2|＝log2(x－2). 又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数， 故y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上是一个增函数，故选C. C 索引 A.－1 B.1 C.±1 D.2 B ∴a＝1，故选B. 索引 4.已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2 x，则当x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式为_____________，函数f(x)的单调减区间为_____________. f(x)＝log2(－x) (－∞，0) 解析　设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝log2(－x)， 又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝log2(－x)， 索引 课堂互动 题型剖析 2 11 题型一　对数型复合函数的单调性 【例1】　求下列函数的单调区间： 解　由题意知x2＋4x－12>0，解得x>2或x<－6. 令t＝x2＋4x－12， 易知t＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 故所求函数的单调递增区间是(－∞，－6)，单调递减区间是(2，＋∞). /////// 索引 (2)y＝(log0.4x)2－2log0.4x＋2. 解　令t＝log0.4x，且t＝log0.4x在(0，＋∞)上单调递减. 易知y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减， 由t＝log0.4x≥1，得0<x≤0.4，由t＝log0.4x<1，得x>0.4. 故所求函数的单调递增区间为(0.4，＋∞)，单调递减区间为(0，0.4]. 索引 解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断单调性；三是要注意函数的定义域. 对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型. 对于y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反. 研究y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法则判定即可，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f(t)的单调性即可. 思维升华 索引 【训练1】　函数f(x)＝lg(x2－2ax－a)在区间(－∞，－3)上单调递减的必要不充分条件是(　　) 解析　设u(x)＝x2－2ax－a. ∵f(x)在(－∞，－3)上单调递减， ∴由复合函数的单调性法则可知，u(x)在(－∞，－3)上单调递减， 且u(x)>0在(－∞，－3)上恒成立. 又u(x)＝(x－a)2－a－a2在(－∞，a)上单调递减， C 索引 索引 题型二　对数型复合函数的奇偶性 (1)求f(x)的定义