第一章 2.1 第二课时 充要条件（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第二课时　充要条件 INNOVATIVE DESIGN 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 课标要求 素养要求 针对充要条件问题，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的__________，记作________.当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”. 充要条件 p⇔q 自主梳理 /////// 索引 点睛 索引 1.思考辨析，判断正误 √ (2)p：M＝，q：M∩N＝，p是q的充分不必要条件.( ) (3)“A⊆B”是“A∪B＝B”的充要条件.( ) (4)证明“p的充要条件是q”，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性.( ) 提示　在“p的充要条件是q”中，q是条件，p是结论，因此由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. √ √ × 自主检验 /////// 索引 2.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析　当x＝1时，x3＝x；当x3＝x时，x＝0或1或－1，故选A. A 索引 3.设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　) A.既充分又必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为(－1，3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件. C 索引 4.“m＝1”是“函数y＝x m2－4m＋5为二次函数”的_________________条件. 解析　当m＝1时，y＝xm2－4m＋5＝x2是二次函数，若y＝x m2－4m＋5是二次函数，则m2－4m＋5＝2，∴m＝1或m＝3. 充分不必要 索引 课堂互动 题型剖析 2 11 题型一　充要条件的判断 【例1】　判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：a>b； (2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (3)p：|x|>3，q：x2>9. 解　(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔a>b， 所以p是q的充要条件. (2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件. (3)由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件. /////// 索引 判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件. 思维升华 索引 【训练1】　a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab＝0 B.ab>0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0 解析　a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. D 索引 【例2】　求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明　①必要性： 若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则 题型二　充要条件的证明 解得k<－2. /////// 索引 ②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0. 设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝k2＋2k＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0， ∴x1－1>0，x2－1>0. ∴x1>1，x2>1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 索引 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 思维升华 索引 【训练2】　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)， x＝0时y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 索引 【例3】　已知p