第二章 一元二次函数、方程和不等式 培优课 一道基本不等式问题的“一题多解”（课件）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

NN○∨ATVE DESIGN 培优课一道基本不等式问题的“-题多解” 【例题】已知正数a,b/6。3,求a+b的取值范围 法一“1”的整体代换 解析一由 ab3得+=1, Ba 31 a+b=(a+b)1+1)2+a+b=2+2×b=4 3h 3b3 3b 3a b 当且仅当 36 3a 即a=b=时取等号 所以a+b的取值范围是a+b≥ 索引 思维升华 41”的整体代换关键是构造出“1”,把+作为一个整体乘入到a+b中一般 3a·3 情况下,(ax+加):+=ac+b+be+a=(ac+b)(a,b,c,d0),即 ax+by与+中知一可求另外一个的最小值. 索引 法二求谁保留谁十基本不等式组 ,×≤hN人 2N/2+b 2 解析二已知n+=3,则3=+≥2 2 n·即3 解得ab≥3,得ab≥ 当且仅当 即a=b=时取等号 由+=3可得a+b=3ab≥3×9-3 即a+b的取值范围是a+b≥ 索引 思维升华 (1)由+=3可得a+b=3mb,要求a+b的范围,则需消去mb,即利用a+b与 ab的不等关系进行转化 (2)基本不等式组 2 ∨2,同学们可利用mb+b b a2+b2 2自行证 明 索引 法三求谁保留谁+基本不等式组wb≤ atb2 a+b 2 解析三由+=3得a+b=3mb又mbx+bP 2 所以g+ba+b2,即4a+b)≤3(a+ 2 所以a+b≥ b 当且仅当1 即a=b=时取等号, =3 即a+b的取值范围是a+b≥ 索引 思维升华 方法三与方法二的解题思想是一致的,只是应用了不同的不等式 索引 法四化归思想:二元转化为一元 解析四由+=3得a+b=3ab b-3a-1 由于a>0,b>0,可得a>,则 atb=at 3a-1=a+2x3n-1+1 3^3-1=a+ × 当 即a=2时取等号,a+b的取值范围是a+b≥ 9 索引 思维升华 方法四利用粲件+=3消去b,转化关于a的代数式,然后利用基本不等式 求解 索引 法五判别式法 解析五由十=3得a+b=3ab,(1) 设a+b=t,则b=ta,代入(1)式得t=3a(t-a) 整理得3a2-3a+t=0,又由+1=3得a> 即方程3a2-3m+t=0存在大于的实数根 A=(3n)2-4×3t≥0, 3t1 合p=3a2-3a+t,由其函数图象可知2×33 3 3/-3t×1+p0, 解得t≥所以a+b的取值范围是a+b≥ 索引