2.2 第二课时 基本不等式的应用（课件）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二章 第二课时　基本不等式的应用 INNOVATIVE DESIGN 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 课标要求 素养要求 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 基本不等式与最大(小)值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy 有最大值_________. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值______. x＝y x＝y 自主梳理 /////// 索引 点睛 (1)利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. (2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.　　　 索引 1.思考辨析，判断正误 × 提示　a，b为正实数. (2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.( ) 提示　a，b为正实数. × × 自主检验 /////// 索引 2.(多选题)下列不等式正确的是(　　) BC 索引 3.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________. 索引 50 4.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________. 解析　由m2＋n2≥2mn， 索引 课堂互动 题型剖析 2 11 题型一　基本不等式的简单应用 解　∵x>2，∴x－2>0， /////// 索引 索引 利用基本不等式求最值的策略 思维升华 索引 解　因为x<0， 索引 (2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值. 解　法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. 即x＝12时，等号成立.∴x＋y的最小值是18. 索引 索引 【例2】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). 题型二　基本不等式的实际应用 /////// 索引 索引 (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米. 索引 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 思维升华 索引 解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 索引 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 索引 题型三　基本不等式的灵活应用 解析　法一(1的代换) 16 解①②可得x＝4，y＝12. 所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16. /////// 索引 索引 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号， 所以x＋y的最小值是16. 索引 解析　正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4， 索引 索引 角度3　利用基本不等式解决恒成立问题 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， B 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. 索引 思维升华 索引 C 索引 D 即a2＝c2＝2b2时，等号成立. 索引 (3)求x(m－x)(0<x<m)的最大值. 解　∵0<x<m，∴x>0，m－x>0. 索引 1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当变形. 2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和待求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：