27.2.9【专题】相似三角形与圆综合-【知识点专练】2021-2022学年九年级数学下册同步精品课后练习(人教版)

27.2.9【专题】相似三角形与圆综合 学习必知： 相似三角形与圆的综合题，证明相似时，通常是利用圆的性质（圆的内接四边形对角互补、同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是90°、圆的半径相等、切线的性质等）寻找两个角对应相等，利用“两个角分别相等的两个三角形相似”来证明. 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 【答案】5． 【详解】 解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD. ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴，即 解得：x=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质． 2．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则． 【答案】②④⑤ 【分析】 ①根据线段垂直平分线定理，为的直径，为的弦，即可得出结论； ②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可； ③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可； ④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论； ⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果． 【详解】 解:①∵DE是的垂直平分线 ∴ 为的直径，为的弦 ． 故①不正确． ②∵DE是的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴∠A+∠AED=90° ∵ ∴∠A+∠ABC=90° ∴ 故②正确． ③连接OD 的长为． 故③错误． ④∵DE⊥AB，F是的切线 ∴∠FEB=∠EDF=90° 又∠EFD=∠EFD ∴△EFD∽△BFE ∴． 故④正确． ⑤∵， ∴BF= ∵ ∴ 在Rt△EDB中， ， ∵DE是的垂直平分线， ∴，AE=BE=8， ∵在Rt△ADE和Rt△ACB中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90° ∴Rt△ADE∽Rt△ACB ∴ ∴ ∴AC=10.24 又AE=BE=8 ∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24． 故⑤正确． 综上所述：正确的有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 【点睛】 本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键 3．（2020·浙江北仑·九年级期中）如图，内接于，且，是是上的一点，在的延长线上，连结交于，连结． （1）求证：平分； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】 （1）据等边对等角，判定∠DCB=∠DBC，再据同弧所对圆周角相等，判定∠DAC=∠DBC，再据圆内接四边形性质判定∠EAD=∠DCB，最后得证平分； （2）运用等边对等角和同弧所对圆周角相等证得∠CFB=∠DCB，据△BCF和△BDC还有一个公共角，由有两个角对应相等的三角形相似，证得． 【详解】 如下图 （1）∵ ∴ 又∵， ∴，即平分． （2）∵ ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴． 【点睛】 此题考查圆周角的相关知识及圆内接四边形的性质．找准图形正确运用相关知识是关键． 4．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）与相切．证明见解析；（2） 【分析】 （1）利用角平分线的定义证明结合等腰三角形的性质证明从而证明结合可得答案； （2）连接，先利用勾股定理求解的长，再证明 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案． 【详解】 解：（1）与相切． 理由如下： 如图，连接， 平分， 在上， 是的切线． （2）连接 为的直径， ，， 解得： 所以：的长为： 【点睛】 本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·四川泸州·中考真题）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC （1）求证：； （2）若，于点，，，求的值 【答案】（1）证明见详解；（2）18． 【分析】 （1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，利用，得到，根据圆周角