第06讲 二次函数与方程及不等式-【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第06讲 二次函数与方程、不等式 了解并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系，会根据二次函数图象看一元二次方程根的情况及一元二次方程不等式的解集。 二次函数一般式为：y=ax2+bx+c(a≠0) 判别式△=b2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根 不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 解题技巧： 1.二次函数图象与x轴的交点个数往往是利用根的判断式b2-4ac来判断，同样也可以由抛物线与x轴的交点个数来判断。 2.当判断关于函数解析式中的系数a,b,c的代数式大于或小于0时，特殊值得作用一定要体现，如： ①在二次函数中判断a+b+c的值的大小时，找出x=1时对应的y值。 ②在二次函数中判断a-b+c的值的大小时，找出x=-1时对应的y值 ③在二次函数中判断4a+2b+c的值的大小时，找出x=2时对应的y值 ④在二次函数中判断4a-2b+c的值的大小时，找出x=-2时对应的y值 即b的系数是几，对应的x就是几。 3.初中阶段我们不学习一元二次方程不等式，故对于一元二次不等式或更高次不等式的求解，我们采用的是图象法，列方程求出交点的横坐标即可。 考点1 二次函数与方程组 例题1 （1）抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由方程-x2+4x-4=0,得b2-4ac=42+4×(-4)=0 所以方程-x2+4x-4=0有两个相等的实数根，即y=- x2+4x-4的图象与x轴有一个交点,又因为c=-4，所以抛物线与y轴交于(0，-4)， 的值得出,故抛物线与坐标轴有两个交点。故选C （2）已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 【答案】C 【分析】 根据二次函数图像与x轴没有交点说明 ，建立一个关于k的不等式，解不等式即可. 【详解】 ∵二次函数的图象与x轴无交点， ∴ 即 解得 故选C． 例题2 （1）小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 【答案】D 【详解】 试题解析：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（-1，0），（4，0）， ∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4． 故选D． （2）小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 【答案】C 【详解】 由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 例题3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( ) A．m≤－2 B．m≥－2 C．m≥0 D．m＞4 【答案】B 【详解】 令y1=ax2＋bx＋c，y2=m，y1=ax2＋bx＋c为如图二次函数，y2=m为平行于x轴的一条直线，要使ax2＋bx＋c＝m有实数根，即要使y2=m这条直线和二次函数y1=ax2＋bx＋c有交点，根据图像可得当m≥-2时y2=m这条直线和二次函数y1=ax2＋bx＋c有交点. 故选B. 例题4 如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ） A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定 【答案】C 【分析】 根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为，利用数形结合求解即可. 【详解】 根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3, 把转化为 抛物线开口向下有最小值为-3 ∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点. 即方程无解. 故选C. 例题5 如图是二次