立体几何与解析几何题型大观园-【数理报】2021-2022学年高中数学必修2复习专号（北师大版）

2版考题归类 高中数学·北师大(必修2)复习专号 “立儿”与“解几”题型大观园 ◎江西张小龙 几何学是研究空间结构及性质的一门学科,它含有浓浓的古老味又富有新时代气息,在人类社会发展的进程中,不断地深化、变 革,今已有诸多的分支,可谓领域宽广,内容丰富.古典几何常以传统几何法加以研究,直角坐标系的产生,将几何问题用代数的方法 加以研究,这是几何学发展的一个里程碑,高中必修教材几何学设有立体几何与解析几何,其主要内容有四大模块:空间几何体;点、 线、面位置关系;直线与方程;圆的方程根据几何学特有的功能与作用,来培养和发展学生的几何知识水平、思维能力,学习几何时 要做到:概念清、思路畅、理由足;强化欻学思想与方法的运用.接下来让我们走进几何的海洋里吧! 在斜二测直观图3中,易求正三角形O'A'B的高一般地,正确求解组合体问题的关键是展开想象 P一举步入空间宏观瞧几何m=5 的翅膀,画出图形,抓住两个几何体之间的本质联系展 开运算 、抓本质联系,正确进行三视图与直观图的转作A'C平行于y轴, 译,求表面积或体积 因为在Rt△AD'C中,∠A'C'D′=45°, 深化点线面微观论位置 例1帐篷是重要的救灾物资.某种帐篷的三视图 如图1(单位:m),那么生产这样一顶帐篷大约需要篷 所以AC"=yn 空间点线、面三者之间的位置关系是立体几何的 逆用斜二测画法的规则易知原三角形的高AC=重要组成部分,其高考命题形式比较稳定,难易适中, B)52m 6a,底边OB=a, 突出对空间观念和空间想象能力的考查 (C)54m2 (D)60m 所以这个平面图形的面积为S=2× OB x AC= 对于空间想象能力,侧重于考查线与线、线与面及 面与面的平行与垂直等位置关系的考查,着重考查图 形辨识、几何元素的位置关系和几何量的计算,将逻辑 左视图 推理及计算能力联系起来,进行综合考查 故选(B) 、点或线共面问题 点评:本题是由斜二测直观图求原图的面积,解决点或线共面问题的主要题型有证明若干点或若干 的关键是逆用斜二测画法的规则,先“翻译”出原图,再直线共面.证明的主要理论根据是公理1和公理2.公 俯视图 翻译”出原图的长和高,从而易求面积 理1是判断直线在平面内的依据,公理2是确定平面的 图2 解:由三视图可知帐篷是由一个正四棱柱和 要注意用“斜二测画法”描点时只能描平行于坐基本方法,同时它也是判断几个平面是否重合的重要 标轴的线上的点,对于不在平行于坐标轴的线上的点,依据 三棱柱组合而成的,其中正四棱柱的底面棱长为4,高必须要作好辅助线,再描点如本题中的点A,必须先在 例4如图7,点E,F,G,H分 D 为2;三棱柱的底面三角形是底边为4,高为1的等腰三直观图中过点A作平行于y轴的线段AC,再确定点别为正方体ABCD-A,BCD 角形,易求三棱柱的底面三角形两条腰长都是5.如图C,然后再逆用规则定出点A 的棱AB,BC,CC1,C1D1的中 三、抓本质联系,正确求解组合体问题 点.求证:E,F,G,H四点共面 帐篷的表面积S为四棱柱的侧面积与三棱柱的两例3如图5是一个由三根细棒PA,PB,PC组成的分析:本题中涉及到中点, 个底面面积、两个侧面面积之和 支架,三根细棒PA,PB,PC两两所成的角都为60°,一因此可考虑平行,可证四点所 即S=4×2×4+1×4x1×2+4x5×2个半径为1的小球放在文架上,则球心O到点P的距离成的两条直线平行 证明:连接HE,GF,C1B. =36+85≈54 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体, 即生产这样一顶帐篷大约需要篷布54m2 (A)3(B)2(C)3(D)2 所以HC1∥DC∥BE 故选(C) 所以BC1∥BE. 点评:解本题的关键是分析出篷布的需求量实际 上就是帐篷的表面积;然后在理解三视图的基础上结 合空间想象,把三视图及其数据转译为帐篷的直观图 所以HEBC1是平行四边形 及其数据,求解容易 所以BE∥C1B. 要注意理解:几何体的三视图是指主视图、俯视图 又GF是△CBC1的中位线, 和左视图,分别是从物体的正前方、正上方和正左方看 所以GF∥C1B∥ 到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形 解:如图6,连接OA,由组合体的结构可知O41可知GF与HE共面 三视图的规则是:长对正,宽相等,高平齐.即主视PA 于是E,F,G,H四点共面 图和俯视图一样长,都反映几何体的左右距离;俯视图设过点A,B,C的截面圆圆心为H,PA=x, 点评:本题的关键是证四点所组成的两条直线平 和左视图一样宽,都反映几何体的前后距离;主视图和则由题意可知,△ABC是边长为x的正三角形,且行 左视图一样高,都反映几何体的上下距离. P-ABC是棱长为x的正四面体 计策:证明若干点共面问题,常用方法有 二、理解斜二测规则