本册数学思想盘点-【数理报】2021-2022学年高中数学必修2复习专号（北师大版）

高中数学·北师大(必修2)复习专号 思想方法—13 1B1C1D1中 分特征我对万法 DB⊥AA1,DB⊥AC, AA1∩AC=A, 所以DB⊥平面ACC1A 必修2数学思想盘点 因为A1O在平面ACC1A1内, 所以A1O⊥DB. 设正方体的棱长为a ◎湖南段有成 则在Rt△CMO中, OM=√OC2+CM2 函数与方程思想 x+ay-3=0, 消去y,整理得 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题 (a2+1)x2+(a2+6a-6)x+3a2-18a+9=0 转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系 3a2-18a+9 在Rt△AA1O中 入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 则有x1·x2= a2+1 0A-+AA (方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过 由方程组消去x,整理得 解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还通(a2+1)y2-(7a+6)y+15=0 过函数与方程的互相转化与接轨,达到解决问题的目 所 连接A1C1,A1M,则在Rt△MA1C1中, 的 CM+A, CI 例1长方体的高为h,底面积为a,过两条相对侧棱 因为OP⊥OQ,所以y1·y2+x1·x2=0. 的平面的面积为b,则此长方体的侧面积为() 由①②得 (A)2√b2+ah (B)2√2b2+ah 即a2-6a+8=0,解得a=2或a=4 所以在△MA1O中,OM2+A102=A1M2 C)2√6+2mh (D)√b+2ah 故所求直线l的方程为 所以A1O⊥OM 分析;由题中的已知条件可以得出长方体长和宽 x+2y-3=0或x+4y-3=0. 又OW∩DB=0,所以A1O⊥平面MBD. 的关系式,即方程,则侧面积可以用已知的字母来表 例4在△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3 所以A1O⊥MB P是AB上一点,则点P到AC,BC的距离乘积的最大值 例7已知线段的两个端点A(0,-3),B(3,0),若 解:设长方体的长、宽分别为x,y,则根据题意可得 是 直线y=Ax+A+2与线段AB相交,求实数A的取值 (A)2 (B)3 (D)5 分析:由∠ACB=90°,且P 分析:采用数形结合思想(如 是AB上一动点,可想到建立直角 图5) 坐标系,将其转化为函数求最值 解:因为y=Ax+A+2恒过 定点C(-1,2), 则x+y 6-+2ah 问题 解:建立如图2所示的直角坐(C 所以AC的斜率k1c 故长方体的侧面积为 标系,则AB所在的直线方程为 S=2(x+y)h=2h·+2ah 1(0<x<4,0<y<3 h BC的斜率k =2√b2+2ah2 所以x=4--,0 若直线y=Ax+A+2与线段AB相交, 因此选(C) 设线段AB上任意一点P(x,y), 则k1≤A≤kBC 例2如图1,在棱长为2的正 则点P到AC,BC的距离乘积为 故A的取值范围是-5≤A≤-1 方体ABCD-A1B1C1D1中,问点 E在线段BC1上的什么位置时, 例8两直线l1:ax+y-4=0与l2:x-y-2=0 直线DE与平面ABCD所成角的 相交于第一象限,则实数a的取值范围是 则当y=7时,乘积xy的最大值为3 (A)-1<a<2 B)a>-1 正切值是 故选(B) (C)a<2 (D)a<-1或a>2 分析:由于点E是BC1上的 图1 例5圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x 分析:因为直线l1:ax+y-4=0恒过定点A(0, 点,可作EF⊥BC于点F,不难证明EF⊥平面ABCD,-12y+45=0的相交弦所在的直线方程是 4),实数-a表示直线l的斜率,则要求实数a的取值 由此可顺利作出直线DE与平面ABCD所成角的平面 解:把两圆的方程相减,消去二次项可得相交弦所范,只须通过数形结合将直线ax+y-4=0绕点A运 角,若设EF=x,则根据条件中的正切值可得到关于x在的直线方程为4x+3y-23=0 动,使其与直线l2:x-y-2=0相交于第一象限,观察 的方程,从而可解得x的值,得出点E所在的位置 故应填4x+3y-23=0. a的变化即可 解:过点E作EF⊥BC于点F,连接DF 解:直线l:ax+y 因为平面B1BCC1⊥平面ABCD,BC为交线 、数形结合思想 4=0恒过定点A(0,4), 所以由平面与平面垂直的性质定理可知,EF⊥平 其斜率为-a A(0,4X动范国4x-20 面ABCD 数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的 直线l2:x-y-2= 所以DF是DE在平面ABCD上的射影 图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,华罗与x轴的交点为B(2,0), B(2,0)x 所以∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角庚先生说过:“数形本是两依倚,焉能分作两边