4.2.4随机变量的数字特征-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.2随机变量 4.2.4 随机变量的数字特征 知识梳理 一、均值 1.定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). （1）均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.由定义可知离散型随机变量的均值与它的本身有相同的单位. （2）随机变量的均值与样本平均值的关系: 2.常见的均值 （1）若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)=p. （2）若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np. （3）若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则E(X)= 3.性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y + 也是一个随机变量，那么， 二､方差 1．定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则叫做这个离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差. 离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于均值的离散程度(或波动大小). 2.离散型随机变量ξ的期望与方差 名词 数学期望 方差 定义 E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn D(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn 性质 （1）E(a)=a(a为常数) （2）E(aξ)=aE(ξ)(a≠0) （3）E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a，b为常数，且a≠0) （4）若ξ~B(n，p)，则E(ξ)=np （1）D(a)=0(a为常数) （2）D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0) （3）D(aξ+b)=a2D(ξ)(a，b为常数，且a≠0) （4）若ξ~B(n，p)，则D(ξ)=npq(p+q=1) 数学 意义 E(ξ)是一个常数，它反映了随机变量取值的平均水平，亦称均值 D(ξ)是一个常数，它反映了随机变量取值的稳定与波动､集中与离散的程度 常见考点 考点一 离散型随机变量分布列的均值与方差 典例1．随机变量的分布列为： －1 3 5 0.5 0.2 则其均值的值为( ) A．2.4 B．1.9 C．1.5 D．1.4 【答案】D 【分析】 根据分布列总概率为1即可求解m，即可根据数学期望的计算方法计算E(X)﹒ 【详解】 由分布列的性质，得，由均值的定义，得． 故选：D 变式1-1．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上两个数的积的均值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为，则可求的分布列，从而可求的分布列，最后利用公式可求. 【详解】 设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为， 则由题意可知，，， 所以，， ，， 所以． 故选：A. 变式1-2．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则D(X)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 X的取值可能为0,1，先利用随机事件的独立性计算对应的概率，再根据方差的定义计算即可 【详解】 由已知X的取值可能为0,1. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝＋×＝， ∴E(X)＝0×＋1×＝， D(X)＝×＋×＝. 故选：A 变式1-3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ） A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【详解】 ∵E(X1)＝E(X2)＝1.1， D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好． 考点二 均值与方差的性质 典例2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由期望的性质求解