4.2.3二项分布与超几何分布-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.2随机变量 4.2.3 二项分布与超几何分布 知识梳理 一.独立重复试验 在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 二.二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)= ，k=0，1，2，…，n，X的分布列为： 0 1 k n X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式中对应项的值， 因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p) 三．超几何分布 1.定义:一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，这里的X称为服从参数N，n，M的超几何分布，记作X~H(N，n，M). 如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表: 0 1 k s 常见考点 考点一 二项分布的概率 典例1．已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】 . 故选：C 变式1-1．设，其中，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二项分布概率公式求得，再根据二项分布概率公式求解即可. 【详解】 解：根据题意得，即， 解得或（舍去）， 故. 故选：D 变式1-2．设随机变量，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用二项分布求解即可 【详解】 解得 故选：A 变式1-3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【详解】 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则, ,选择D答案． 【点睛】 本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 考点二 二项分布的应用 典例2．某盏吊灯上并联着个灯泡.如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是.设能正常照明的灯泡个数为，求： （1）能正常照明的灯泡个数的分布列； （2）这段时间内吊灯能照明的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2）. 【分析】 （1）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列； （2）利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 （1）由题意可知，所以，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： （2）这段时间内吊灯能照明的概率为. 变式2-1．已知计算机网络的服务器采用的时“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间互不影响，其中能正常工作的设备数为X． （1）写出X的分布列； （2）求出计算机网络不会断掉的概率． 【答案】 （1）分布列见解析 （2） 【分析】 （1）根据题意，得到三台设备正常工作的设备数，结合二项分布，即可求解； （2）根据题意，要求能正常工作的设备至少有一台，结合对立事件的概率，即可求解． （1） 解：由题意，台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间互不影响， 可得三台设备正常工作的设备数服从二项分布，即， 可得，， ，， 从而X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）解：要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 变式2-2．某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行. （Ⅰ）活动开