必考点18 利用导数研究函数的单调性-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点18 函数的单调性与导数 题型一 导函数与原函数图象间的关系 例题1设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 【答案】(1)D　 【解析】(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D. 例题2 (多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是(　　) 【答案】(2)ABC 【解析】(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC. 【解题技巧提炼】 函数与导数图象间的关系 判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面： (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象的关系 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小 绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大 绝对值越来越小 题型二 用导数研究不含参数的函数单调性 例题1判断下列函数的单调性 (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝x3＋. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞) f′(x)＝2x－＝ 因为x>0，所以x＋1>0 令f′(x)>0，解得x> 所以函数f(x)在(，＋∞)上单调递增， 令f′(x)<0，解得0<x<， 所以函数f(x)在(0，)上单调递减． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞) f′(x)＝＝ 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0 令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增； 令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞) 所以函数f(x)在(－∞，2)和(2,3)上单调递减． (3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) f′(x)＝3x2－＝3(x2－) 令f′(x)>0，得x<－1或x>1， 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增； 令f′(x)<0得－1<x<1且x≠0， 所以函数f(x)在(－1,0)和(0,1)上单调递减． 【解题技巧提炼】 用导数判断函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)； (4)写出结论． 题型三 带条件的根式的化简 例题1已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数f(x)的单调性． 【解析】函数的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝， ①当0<a<1时，>1， ∴x∈(0,1)和(，＋∞)时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1，∴x∈(0，)和(1，＋∞)时，f′(x)>0； x∈)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 【变式训练】本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？ 【解析】a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0， ∴x∈(0,1)时，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和(，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a＝1时