必考点16 导数的概念-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点16 导数的概念 题型一 求瞬时速度 例题1如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度． 【解析】Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2， ＝li (4.8＋2Δt)＝4.8， 故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s末的瞬时速度即求 【解题技巧提炼】 (1)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． ②求平均速度＝. ③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． (2)求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算． ②求出的表达式后，Δx无限趋近于0，可令Δx＝0，求出结果即可． 题型二 求在某点的切线方程 例题1求抛物线y＝2x2＋4x在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx ∴＝＝2Δx＋16. ∴k＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. ∴在点(3,30)处的切线方程为：y－30＝16(x－3) 即：16x－y－18＝0. 【解题技巧提炼】 求在某点处的切线方程 (1)作差：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)作商：＝. (3)取极限：k＝ . (4)由点斜式写出切线方程． 题型三 导数几何意义的应用 例题1已知曲线y＝x2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y＝4x－3； (2)垂直于直线2x－y＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x0，y0)． f′(x)＝li ＝li ＝li (2x＋Δx)＝2x. ∴过(x0，y0)的切线的斜率为2x0. (1)∵切线与直线y＝4x－3平行，∴2x0＝4，x0＝2， y0＝x＋6＝10， 即过曲线y＝x2＋6上点(2,10)的切线与直线y＝4x－3平行． (2)∵切线与直线2x－y＋5＝0垂直， ∴2x0×2＝－1，得x0＝－，y0＝， 即过曲线y＝x2＋6上点的切线与直线2x－y＋5＝0垂直． 例题2已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形面积． 【解析】(1)y′＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1. 所以y′|x＝1＝2×1＋1＝3， 所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)， 则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2， 则有2b＋1＝－，b＝－，B， 所以直线l2的方程为y＝－x－. (2)解方程组得 所以直线l1和l2的交点坐标为. l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，. 所以所求三角形的面积S＝××＝. 【解题技巧提炼】 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． 利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路 (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． 题型一 求瞬时速度 1.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． 【解析】(1)t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， 所以Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2，＝＝3－Δt， li＝＝li (3－Δt)＝3.所以物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt]，所以Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt， li ＝li (－1－Δt)＝－1， 所以当t＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型二 求在某点的切线方程 1.求抛物线y＝x2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy＝[(2＋Δx)2＋3]－(22＋3)＝4Δx＋(Δx)2 ∴＝4＋Δx∴k＝ (4＋Δx