必考点15 数学归纳法-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点15 数学归纳法 题型一 数学归纳法证明 例题1用数学归纳法证明：＋…＋＝ (n∈N*). 【证明】(1)当n＝1时，左边＝， 右边＝＝.左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 ＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立. 【解题技巧提炼】 用数学归纳法证明等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法. 题型二 数学归纳法的应用 例题1已知数列{an}，an≥0，a1＝0，＋an＋1－1＝，求证：当n∈N*时，an<an＋1. 【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程＋a2－1＝0的正根，所以a2＝，即a1<a2成立. (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 所以－＝(＋－1)－(＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立. 综上，可知an<an＋1对任意n∈N*都成立. 【解题技巧提炼】 用数学归纳法证明不等式的注意点 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法. 题型一 数学归纳法证明 1.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 【答案】C 【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k. 题型二 数学归纳法的应用 1. 设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝＋n，an>0(n∈N*).猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【解析】分别令n＝1，2，3，得 ∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3， 猜想：an＝n. 由2Sn＝＋n，① 可知，当n≥2时，2Sn－1＝＋(n－1)，② ①－②，得2an＝－＋1，即＝2an＋－1. (ⅰ)当n＝2时，＝2a2＋12－1， ∵a2>0，∴a2＝2. (ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时， ＝2ak＋1＋－1＝2ak＋1＋k2－1， 即[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0， ∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0， ∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立， ∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立， 故对于一切n∈N*，均有an＝n. 一、单选题 1．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从到成立时，左边增加的项为， 因此增加的项数是，故选：C 2．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ） A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1 【答案】C 【解析】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时 假设当时不等式成立，左边= 则当时，左边= 则由递推到时不等式左边增加了： 共，故选：C 3．用数学归纳法证明关于的命题时，___________，为正整数，则空格处应填（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为时，， 时，， 所以从到时，， 故选：B. 4．观察下列各式：已知，，，，，…，则归纳猜测（ ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】D 【解析】观察发现，，，， 又，，∴.故选：D. 5．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，应该验证的情况，不等式为.故选：B. 6．用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ） A