必考点14 等比数列-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点14 等比数列 题型一 等比数列通项公式的求法及应用 例题1基本量的计算 【例1】在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 【解析】(1)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. (2)方法一：由已知可得 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. 【解题技巧提炼】 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 题型二 等比中项 例题1已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 【解析】设该等比数列的公比为q，首项为a1， 因为a2－a5＝42，所以q≠1， 由已知，得， 所以 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以由②除以①，得q(1－q)＝.所以q＝. 所以a1＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项， 则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9. 所以a5，a7的等比中项是±3. 【解题技巧提炼】 (1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 题型三 等比数列的判定与证明 例题1已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*) (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 【解析】(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－， 当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝. (2)证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 【解题技巧提炼】 判定数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：＝q(q是常数)或＝q(q是常数，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 题型四 等比数列性质的应用 例题1已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 【解析】(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得 a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 【解题技巧提炼】 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用． 题型五 等比数列与等差数列的综合应用 例题1在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求d，q的值； (2)是否存在常数a，b，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由a2＝b2，a8＝b3， 得即 解得或(舍去)． (2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4， bn＝b1qn－1＝6n－1. 假设存在常数a，b，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立，则5n－4＝loga6n－1＋b， 即5n－4＝nloga6＋b－loga6. 比较系数，得所以 故存在a＝6，b＝1，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立． 【解题技巧提炼】 求解等差、等比数列综合问题的技巧 (1)理清各数列的基本特征量，明确两个