必考点13 等差数列-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点13 等差数列 题型一 等差数列的相关计算 例题1记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12　　　　　　　　　 B．－10 C．10 D．12 【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 例题2记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则由得 即解得d＝4. 【解题技巧提炼】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 (1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素． (3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． (4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒]　在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 题型二 等差数列的判定与证明 例题1若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 因为Sn≠0，所以－＝2， 又＝＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝ 当n＝1时，a1＝不适合上式． 故an＝ 【解题技巧提炼】 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 [提醒]　如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件． 题型三 等差数列的性质与应用 例题1已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，，则S2 019＝________. 【答案】8076 【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列． 设其公差为d，则＝6d＝6，∴d＝1. 故＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4， ∴S2 019＝4×2 019＝8 076. 【解题技巧提炼】 一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． 题型四 等差数列前n项和的最值问题 例题1在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________． 【答案】49 【解析】法一　通项法 设等差数列{an}的公差为d. 由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15. 由得解得≤n≤. 因为n∈N*， 所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝＝49. 法二　二次函数法 设等差数列{an}的公差为d. 由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15. 所以Sn＝＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， 所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝49. 【解题技巧提炼】 求数列前n项和的最值的方法 (1)通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组来确定． (2)二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋ d＝n2＋n，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称