必考点12 数列的概念和通项-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点10 指数 题型一 数列的概念和分类 例题1数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】D 【解析】该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 【解题技巧提炼】 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限． 题型二 由数列的前n项求数列通项公式 例题1写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，，－，； (2)，3，，； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5. 【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·. (2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝. (3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－. (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. 【解题技巧提炼】 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 题型三 数列的单调性 例题1已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)． (1)求证：an>－2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解析】(1)因为f(x)＝＝＝－2＋， 所以an＝－2＋.因为n∈N*，所以an>－2. (2)数列{an}为递减数列．理由如下： 因为an＝－2＋，所以 an＋1－an＝－ ＝－＝<0 即an＋1<an，所以数列{an}为递减数列． 先化简fx的解析式，再构造{an}，然后判断an＋1－an的符号. 【解题技巧提炼】 用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号． 题型四 数列中项与项数关系的判断 例题1已知数列，，2，，… (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项； (2)判断4和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由． 【解析】(1)由于2＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为an＝；a20＝＝. (2)令＝4，两边平方得3n＝33，解得n＝11，是正整数 令＝10，两边平方得n＝，不是整数． ∴4是数列的第11项，10不是数列中的项． 【解题技巧提炼】 (1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． (2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． (3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件． 题型五 已知Sn求an 例题1设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求an. 【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32 当n＝1时，a1＝S1＝－28，适合上式， 所以an＝4n－32. 借助an＝ 【变式探究1】将本例中的“Sn＝2n2－30n”换为“Sn＝2n2－30n＋1”，求an. 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1] ＝4n－32. 验证当n＝1时，上式不成立 ∴an＝. 【解题技巧提炼】 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a