课时分层作业19 椭圆的标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教B版)

课时分层作业(十九)　椭圆的标准方程 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若曲线＝1表示椭圆，则k的取值范围是(　　) ＋ A．k＞1　　　　　　　　 B．k＜－1 C．－1＜k＜1 D．－1＜k＜0或0＜k＜1 D　[∵曲线＝1表示椭圆，＋ ∴解得－1＜k＜1，且k≠0．] 2．焦点坐标为(0,3)，(0，－3)，长轴长为10，则椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 ＋＝1 B．＋ C．＝1 ＋＝1 D．＋ C　[由题意a＝5，c＝3，且焦点在y轴上，∴b＝＝4， ∴椭圆的标准方程为＝1．]＋ 3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A．8　　　B．2 C．10　　　D．4 A　[由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， ∴|PF1|·|PF2|≤＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．] 4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A．＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0) B．＋ C．＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0) D．＋ B　[∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)， ∴BC＝8． AB＋AC＝20－8＝12，∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆，焦点在y轴上， ∴a＝6，c＝4，∴b2＝20， ∴点A的轨迹是＝1(x≠0)．]＋ 5．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＝1 ＋ C．＝1 ＋＋y2＝1或 D．以上答案都不对 C　[直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1． 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＝1．]＋ 二、填空题 6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ． ∴＝1　[由题意可得＋ 故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＝1．]＋ 7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1()，则椭圆的方程为 ． ，－，1)，P2(－ ＝1　[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．＋ ∵椭圆经过点P1，P2， ∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程． 则①②两式联立，解得 ∴所求椭圆方程为＝1．]＋ 8．如图所示，F1，F2分别为椭圆的正三角形，则b2＝ ． ＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为＋ 2，∴c＝2，c2＝　[由题意S△POF2＝ ∴a2＝b2＋4． ∴点P坐标为(1，．]＝1，解得b2＝2＋＝1中得＋代入椭圆方程)，把x＝1，y＝ 三、解答题 9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程． [解]　当焦点在x轴上时，设其方程为＋y2＝1．＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋ 当焦点在y轴上时，设其方程为＝1(a＞b＞0)．＋ 由椭圆过点P(3,0)，知＝1．＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋ 故椭圆的标准方程为＋y2＝1． ＝1或＋ 10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [解]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， ∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图： 由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C． ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6，|CM|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6． 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6． ∴a＝3，c＝2，b＝，＝ ∴所求圆心的轨迹方程为＝1． ＋ 11．(多选题)下列命题是真命题的是(　　) A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆 B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段 C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆 BD　[A中>8，故点P的轨迹为椭圆．]<2，故点P的轨迹不存在；B中2a＝|F1F2|＝4，所以