课时分层作业7 空间向量与垂直关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(七)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　) A．α，β平行 B．α，β垂直 C．α，β重合 D．α，β不垂直 B　[u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β.] 2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　　) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 A　[由条件可知|a|＝，∴x＋y＝1或－3.]或＝6，且a·b＝4＋4y＋2x＝0，解得 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) ＝(4,2,0)，＝(2，－1，－4)， A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 B　[因为＝A，所以AP⊥ABCD.]∩，又⊥＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以·A；因为⊥＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以· 4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) ，设C＝2 A． D． C． B．－ B　[设D(x，y，z)，则＝(1－x，－y，－1－z)，＝(2，－1，－3)，＝(x＋1，y－1，z－2)， ∵∴，∴＝2 ∴D，＝， ∵.]＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－＝2·，∴⊥ 5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝AC，则(　　) A1D，AF＝ A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 B　[建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)， ＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)， E，，F ＝0，·＝0，·，∴＝ ∴EF⊥A1D，EF⊥AC.] 二、填空题 6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________． ＝(－1,0,1)．＝(0，－1,1)，　[三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则或 令平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，可得， 即，∴x＝y＝z，∵平面ABC的法向量n＝(x，y，z)为单位法向量， ∴x2＋y2＋z2＝1，解得x＝y＝z＝±， 故平面ABC的单位法向量是.]或 7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 垂直　[由题意，a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b， ∵根据平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β.故答案为垂直．] 8．已知＝________. ＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则，⊥＝(3,1，z)，若＝(1,5，－2)， ＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.∵·，∴⊥　[∵ ∴即 解得.]＝故 三、解答题 9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. [证明]　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(.，1)，M，，0,0)，F(，0)，D(，0)，B(0，， 所以，0)．，－＝(，1)，＝(0, ，＝ 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，，n⊥ 所以 ⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－)．.则n＝(1,1，－ 因为.＝ 所以n＝－共线．，得n与 所以AM⊥平面BDF. 10.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1. [证明]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图， 由题意，知D(0,0,0)，A(2，0)，，2，0)，F(，，4)，E(2，2，0)，B1(2，0,0)，C(0,2 则，－4)，＝(0，－ ，0)．，＝(－ 设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)． 则n·y＝0，x＋＝－y－4z＝0，n·＝－ 得x＝y，z＝－.y，令y＝1，得n＝ 又平面BDD1B1的一个法向量为，0)，，2＝(－2 而n·×0＝0，＋)＋1×2＝1×(－2 即n⊥，∴平面B1EF