课时分层作业6 空间向量与平行关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(六)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) D　[若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.] 2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　) A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 B　[因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B.] 3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝(　　) A． C．3 D． B． A　[由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即.]＝，x＝4，∴x＋y＝4－解得λ＝－4，y＝－ 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B． C． D． B　[对于B，，＝ 则n·＝0，＝(3,1,2)· ∴n⊥在平面α内．] ，则点P 5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) B　[设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)， ∴＝(－1,0,2)＝(0,2,1)， 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量 则， 取y＝1， 得x＝－4，z＝－2 ∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量 因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.] 二、填空题 6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________． 1　[由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.] 7．已知＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． ＝(2,2,1)， 　[设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，或 则 解得或 所以平面ABC的单位法向量是]或 8．若A是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. ，C，B 2∶3∶(－4)　[因为，＝ ＝0，＝0，a·，又因为a·＝ 所以 解得 所以x∶y∶z＝＝2∶3∶(－4)．] y∶y∶ 三、解答题 9.如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. [证明]　(1)以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，，， D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)． 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于.⊥＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以·＝(0,1，－1)，则 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. (2)由于，∥＝(0,2,0)，所以 所以MP∥DC. 由于MP⊄平面CC1D1D， 所以MP∥平面CC1D1D. 又由(1)知，MN∥平面CC1D1D， MN∩MP＝M， 所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D. 10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? [解]　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2， 则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)． 设Q(0,2，c)，∴＝(－2，－2,2)．＝(－2,0，c)，＝(－1，－1,1)，＝(1，－1,0)， 设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝1，则y＝1，z＝2， ∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)． 若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量． ∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1， 这时n1·＝－