课时分层作业3 空间向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(三)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a＋b C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.]p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p＋ 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若可表示为(　　) ＝c，则＝b，＝a， A．b＋ca－b＋c B．a＋ C．－b＋ca＋b＋c D．－a－ D　[由于)＋(＋＝＋＝ ＝－b＋c，故选D.] a＋ 3．若向量成为空间一个基底的关系是(　　) ，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，， A．＋＋＝ B．＋≠ C．＋＋＝ D．－＝2 C　[若，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C.]＋μ＝λ，但可能存在实数λ，μ使得＋≠＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，＋＋为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为，， 4．空间四边形OABC中，为(　　) ，N为BC中点，则＝2＝c，点M在OA上，且＝b，＝a， A．cb＋a＋c B．－b＋a－ C．cb－a＋c D．b－a＋ B　[c.]b＋a＋＝－＋＋)＝－－(＋－＋＝＋＋＝ 5．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量|等于(　　) |＝3，则||＝2，||＝1，|两两的夹角均为60°且|，， A．5 B．6 C．4 D．8 A　[在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中有，＋＋＝＋＋＝ 所以有||＝5.]|·cos 60°＝25，所以||||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＋2||·||2＋2||2＋||2＋||2＝|＋＋|2＝||，于是有|＋＋|＝| 二、填空题 6．在四面体OABC中，＝________.(用a，b，c表示) ＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝b，＝a， c.]b＋a＋(b＋c)＝a＋)＝＋(×a＋＝＋)＝＋(＝＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝b，＝a，c　[因为在四面体OABC中，b＋a＋ 7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________． 4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)　[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c) 则有 解得 则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．] 8．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝________. ＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝b，＝a， .＝c　[因为BG＝2GD，所以b＋a－ 又＝a＋c－2b，－＋－＝＋＝ 所以(a＋c－2b)＝b＋＋＝ ＝c.]b＋a－ 三、解答题 9.如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且＝c. ＝b，＝a， (1)用a，b，c表示向量； ， (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. [解]　(1)＝a＋b＋c.＋＋＝＋＝ ＝b＋c－a.－＋＝＋＋＝＋＝ (2)法一：连接OG，OH(图略)， 则＋＝－＋＝ ＝－)＋()＋＋( ＝－(a＋b＋c＋c)(a＋b＋c＋b)＋ ＝(c－b)． 法二：连接O′C(图略)，则)－(＝＝ ＝(c－b)． 10.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，. ＝c，试用a，b，c表示＝b，＝a，，设＝，＝－ [解]　连接AN，则.＋＝ 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 ＝a＋b，＋＝ (a＋b)，＝－＝－ 又＝b－c，－＝ 故－＝－＝＋＝ ＝b－(b－c)， 所以＋＝ ＝－(b－c)(a＋b)＋b－ ＝(－a＋b＋c)． 11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是(　　) A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c ABD　[对于A，因为2a＝(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.](a＋c)－(b＋2