课时分层作业2 空间向量的数量积运算-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(二)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于(　　) A．　　　　D．1 　　　　C．±　　　　B．－ A　[∵a⊥b，∴a·b＝0，∵3a＋2b⊥λa－b，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0， 即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝.] 2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为(　　) · A．a2 B．a2a2 D．a2 C． C　[a2.]＝)＝·＋·(＝)·＋(＝· 3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是(　　) A．· B．· C．· D．· D　[对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有≠0.故选D.]·＝0；对于选项D，由长方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即·＝0；对于选项C，由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有·＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有· 4．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量所成的角为(　　) 与向量 A．60° B．150° C．90° D．120° D　[a.|＝，|＋＝Aa，|＝，|＋＝ ∴＝－a2.·＋·＋·＋·＝· ∴cos〈.＝－〉＝， ∴〈〉＝120°.]， 5.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　) A． B． C． D． B　[∵，＋＋＝ ∴)2＋＋2＝( ＝)·＋·＋·2＋2(2＋2＋ ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×＝23， ∴|.]，即AC′的长为|＝ 二、填空题 6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 两边平方，得(a－b)2＝7.　[将|a－b|＝ 因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝. 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝.] 7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________． 60°　[，＋＋＝ ∴|2＝1，)＝|＋＋·(＝· ∴cos〈，＝〉＝， ∴异面直线a，b所成角是60°.] 8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________． (－1－)　[由题意知，－1＋ 即 得λ2＋2λ－2<0.∴－1－.]<λ<－1＋ 三、解答题 9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝c.＝b，＝a， (1)试用a，b，c表示出向量； (2)求BM的长． [解]　(1)∵M是PC的中点， ∴)]－＋([)＝＋(＝ ＝c.b＋a＋[b＋(c－a)]＝－ (2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2， 由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos 60°＝1， 由于(－a＋b＋c)，＝ |.[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝(－a＋b＋c)2＝|2＝ ∴|.，∴BM的长为|＝ 10.如图，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE ⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． [解]　(1)证明：设＝c，＝b，＝a， 根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0. ∴a.b－＝－c＋c，＝b＋ ∴b2＝0，c2＋＝－·＝· ∴，即CE⊥A′D.⊥ (2)∵|a|，|＝|a|，||＝＝－a＋c，∴| ∵|a|2，c2＝＝＝(－a＋c)·· ∴cos〈.＝〉＝， ∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 11．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的有(　　) A．(2)2＝3＋＋ B．)＝0 －·( C．的夹角为60° 与 D．正方体的体积为|| ·· AB　[如图，(2；2＝3)2＝＋＋