课时分层作业20 椭圆及其标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(二十)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.] 2．椭圆＝1的焦点坐标是(　　) ＋ A．(±5,0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12， 故焦点为(0，±12)．] 3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＝1 ＋＝1或＋＝1 B．＋ C．＝1 ＋＝1或＋＝1 D．＋ B　[∵2c＝|F1F2|＝2.，∴c＝ ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4.，∴a＝2 ∴b2＝a2－c2＝9. 故椭圆C的标准方程是＝1.]＋＝1或＋ 4．设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) ＋ A．5 B．4 C．3 D．1 B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝×4×2＝4，故选B.] |PF1|·|PF2|＝)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2 5．已知P为椭圆＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) ＋ A．5 B．7 C．13 D．15 B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.] 二、填空题 6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________． 则b2＝a2－c2＝3，解得＝1　[由题意知＋ 故椭圆的标准方程为＝1.] ＋ 7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(4,0)，点C在椭圆＝________. ＝1上，则＋ .]＝＝＝　[由题意知|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10，所以 8．已知P是椭圆＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是________． ＋ 8－4，b＝2，　[由椭圆的标准方程，知a＝ ∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF1|＋|PF2|＝2a＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)． ∴S.] ＝8－4)××16(2－|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝＝ 三、解答题 9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程． [解]　设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．＋ ∵F1A⊥F2A，∴＝0，· 而＝(－4＋c,3)， ＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5. ∴F1(－5,0)，F2(5,0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2| ＝＋ ＝.＝4＋ ∴a＝2)2－52＝15.，∴b2＝a2－c2＝(2 ∴所求椭圆的标准方程为＝1.＋ 10．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程． [解]　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则