课时分层作业17 圆的一般方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十七)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F B　[由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－，即D＝E.]＝－ 2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　　) A．0或－1 B．0 C．7 D．－1或7 D　[将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4， 所以圆的圆心坐标为(1,4)， 所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝，＝ 整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7.] 3．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝.故选C.]＝4 4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π B　[设P(x，y)，由条件知，整理得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π.]＝2 5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为.如图， 由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直． 则，即a＝3.故选B.]＝－ 二、填空题 6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________． (2，－3)　[由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得 解得所以点B的坐标为(2，－3)．] 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，，则圆C的一般方程为________． )在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为 x2＋y2－4x－5＝0　[设圆C的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，由题意可得＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.]，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝ 8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________． 3－.]＝3－××2，∴S△ABC的最小值为－1＝＝1，即x－y＋2＝0，圆x2＋y2－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝＋，又AB方程为＝2　[|AB|＝ 三、解答题 9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． [解]　(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 由7t2－6t－1＜0得－＜t＜1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝.≤＝ ∴r的最大值为.＝＋，圆的标准方程为，此时t＝ 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． [解]　(1)∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)， ∴|PQ|＝，＝2 kPQ＝.＝ (2)∵圆心C的坐标为(2,7)， ∴|QC|＝，＝4 圆的半径是2，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝4，＝6＋2 |MQ|min＝4.＝2－2 11．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　) A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为|a| ACD　[圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2.圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x. ∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0,0