课时分层作业8 用空量研究距离、夹角问题-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(八)　 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A．　　D．　　C．　　B． D　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz(图略)，设AB＝1. 则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(－1,0,2)，＝(0,1，－2)， cos〈，＝－＝〉＝， ∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.] 2．在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A． D．1 C． B． B　[过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(x－1，y，z)．＝(x，y，z－3)，＝(1,2，－3)， 因为， 所以， 解得，＝，所以 所以点B到直线A1C的距离|.]|＝ 3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　) A． D． C． B． A　[以D为原点，可得平面D1EC的一个法向量为n＝(2,1,3)，＝(0,3，－1)，设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则＝(1,1，－1)，＝(0,3,1)，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则C(0,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,3,1)，D(0,0,0)，，， 所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为 sin θ＝cos〈.]＝＝，n〉＝ 4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　) A． B． C． D． C　[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0) ∵E为AB的中点， ∴＝(－1,0,1)＝(－1,2,0)，＝(1,1，－1)， 设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)， 则，，即 可得 可取n＝(2,1,2) ∴点E到面ACD1的距离为d＝.]＝＝ 5.如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A． B． C． D． D　[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz. 设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.] .故二面角C­BF­D的正切值为〉＝，所以tan〈n，〉＝，sin〈n，〉＝)．所以cos〈n，，，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，＝，＝为平面BDF的一个法向量，由，易知＝，，C，F，所以O(0,0,0)，B 二、填空题 6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． .] ＝＝　[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为 7．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________． 　[作出正四棱锥P­A′B′C′D′，如图， 以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系O­xyz，则A′(1,1,0)，B′(－1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PA′B′的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－.]＝Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以点O到侧面的距离d＝D，所以平面PA′B′的方程为－Dy－ 8.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________． 　[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)， ∴.＝＝(－1,0,1)， 设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴x＝2y＝z.⇒ 取y＝1，则n＝(2,1,2)． 又平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)， ∴cos〈