专题11 曲线与方程重难点综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题11曲线与方程重难点综合专练（解析版） 一、单选题 1．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】C 【思路点拨】 利用绝对值的几何意义，由，可得时，，时，，则可得曲线：与曲线：必交于点，再无其它交点，把代入方程，得，分类讨论，可得结论 【精准解析】 解：由，可得时，，时，， 所以曲线：与曲线：必交于点， 为了使曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则将代入方程，得，当时，满足题意， 因为曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点， 所以，且是方程的根， 所以，即时，方程两根异号，满足题意， 综上，的取值范围为， 故选：C 【名师指导】 此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题 2．下面各对方程中，两个方程表示同一曲线的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【标准答案】B 【思路点拨】 对A、B、C、D一一验证. 【精准解析】 对于A: 表示，所以与不是同一曲线，故 A错误； 对于B: 可化为，所以与表示同一曲线，故B正确； 对于C: 要求，与不是同一曲线，故C错误； 对于D: 要求，而要求，故D错误. 【名师指导】 判断两个方程表示同一曲线的方法： (1)看x、y的范围是否相同，如果不同，就算解析式相同，也不是相同的函数； (2)定义域相同的情况下，看解析式是否相同． 3．（2021·上海·高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 【标准答案】D 【思路点拨】 在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【精准解析】 在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以，，当时，；当时，； 取，，，， 连接，，，，则，， 所以四边形为矩形， 则，，即，， 又，且平面，平面， 所以平面， 又，，所以为中点，则平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为四边形， 因此点不可能是棱的中点，即A错； 又，，所以，则点的轨迹不是正方形； 且矩形的周长为，故C错，D正确； 因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错. 故选：D. 【名师指导】 关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解. 4．关于曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴对称；②曲线关于直线对称； ③点（）可能在曲线上；④曲线围成的面积小于； 上述命题中，真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【标准答案】A 【思路点拨】 对①，根据关于轴对称的性质即可求解；对②，根据关于对称的性质即可求解；对③，将点代入，若方程有解，则可能，若方程无解，则不可能；对④，先设出曲线上一点，通过计算得到点在圆外，即可判断. 【精准解析】 解：对①，将方程中的换成，则原方程不变， 故曲线关于轴对称，故①正确； 对②，将方程中的换成，换成， 所得方程为，与原方程不同，故②错误； 对③，,， 即， ， 故无解， 即点（）不可能在曲线上，故③错误； 对④，在曲线上任取一点， ， ， 故， 即点在圆外， 又圆的面积为：， 故曲线围成的面积大于，故④错误； 综上所述：①正确. 故选：A. 【名师指导】 方法点睛：关于对称点的问题可以利用以下知识解决： ①点关于轴对称的点为； ②点关于轴对称的点为； ③点关于原点对称的点为； ④点关于轴对称的点为. 5．（2021·上海·闵行中学高二期末）若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】C 【思路点拨】 通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论. 【精准解析】 A：因为，即是抛物线，没有自公切线，故A错误； B：因为，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B错误； C：因为，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可