专题10 直线与圆锥曲线的位置关系重难点综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题10直线与圆锥曲线的位置关系重难点综合专练（解析版） 一、单选题 1．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【标准答案】A 【思路点拨】 分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断. 【精准解析】 根据题意，抛物线的焦点坐标为. 若直线的斜率不存在，则两点关于焦点对称，故满足； 若直线的斜率不存在，设直线方程为 联立抛物线方程，可得 设，故，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线. 综上所述，满足题意的直线只有1条. 故选：A. 【名师指导】 本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题. 2．已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为 A． B． C． D．2 【标准答案】A 【思路点拨】 首先由直线方程与双曲线方程联立得出A、B两点的坐标关系，再由找到A、B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a的方程，从而求得选项. 【精准解析】 由直线方程与双曲线方程联系得， 设，∵，∴， ∴，，，∴，，， ∴，解得， 故选：A. 【名师指导】 本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题. 3．若直线与抛物线交于A、B两点(不与原点重合)，且，则实数b的值为（ ） A．2 B．1 C．4 D． 【标准答案】A 【思路点拨】 设，联立直线与抛物线方程并整理，结合韦达定理及向量数量积的坐标公式，列方程求b的值，根据A、B两点不与原点重合、判别式大于0，判断b的取值即可. 【精准解析】 设，联立，整理得， ∴，，且由题意：，， ∵，而， ∴，即，解得或(舍). 而时，. 故选：A. 【名师指导】 关键点点睛：联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标公式，列方程求参数值，注意验证参数值的合理性. 4．（2021·上海市南洋模范中学高二期末）已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【标准答案】D 【思路点拨】 本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题． 设PQ的方程为可得，可得，利用基本不等式求得最小值，从而作出判定． 【精准解析】 易得抛物线的焦点, 设，，PQ的方程为， ． ，，则． ， 则． 故选：D． 【名师指导】 PQ的方程为的形式，包括了斜率不存在的情况，可以避免分类讨论. 5．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ） A． B． C． D． 【标准答案】A 【思路点拨】 设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果. 【精准解析】 设，，，，，， 因为，在椭圆上， 所以， ， 两式相减得： ， 即， 同理可得，， 所以 因为直线､､的斜率之和为1， 所以， 故选：A. 【名师指导】 关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键. 6．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】C 【思路点拨】 先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 若曲线为椭圆，只需点落在椭圆内，列不等式求出的范围； 若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围. 【精准解析】 如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程： 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：. 所以实数的取值范围是 故选：C 7．（2021·上海奉贤·高二期末）直线与椭圆相交于两点、，点使得的面积为，则这样的点在椭圆上的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【标准答案】C 【思路点拨】 设点，其中，利用点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可得出或，观察直线、与函数的图象的公共点个数，由此可得出结论. 【精准解析】 设点、，因为点在椭圆上，设点，其