专题09 抛物线重难点综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题09抛物线重难点综合专练（解析版） 一、单选题 1．（2020-2021年上海·高二课时练习）平直角坐标系内，到点和直线距离相等的点的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【标准答案】A 【思路点拨】 判断定点与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹 【精准解析】 因为点位于直线上， 所以动点的轨迹为过点与直线垂直的直线． 故选：． 【名师指导】 本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力．注意本题与抛物线定义的区别，易错选． 2．（2020-2021年上海市南洋模范中学高二期末）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【标准答案】A 【精准解析】 试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 3．（2021·上海市大同中学高二开学考试）如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若，则的大小为（ ） A．15° B．30° C．45° D．不确定 【标准答案】B 【思路点拨】 画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可． 【精准解析】 取AB中点C，连结MC， 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点， 以AB为直径的圆与准线l的公共点为M， 根据抛物线性质，∴MC平行于x轴，且MF⊥AB， ∵∠AMF=60°，∴∠CAM=∠CMA=30°， ∴∠CMF=∠MFO=30°， 故答案为：B 【名师指导】 （1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明MC平行于x轴，且MF⊥AB. 4．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 【标准答案】D 【思路点拨】 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可． 【精准解析】 依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）． 则F（1，0）， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PA|≥|AF|=． 故答案为： 【名师指导】 本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和. 5．（2021·上海市金山中学高二阶段测）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】D 【思路点拨】 设直线的方程为：，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得，然后用基本不等式可求得答案. 【精准解析】 抛物线的焦点，设直线的方程为： 联立方程组，得 设，则有，即 由抛物线的定义可得 所以，当且仅当时等号成立 所以的最小值是 故选：D 【名师指导】 本题考查的是抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题. 6．已知抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记，则（ ） A．当时，的最小值是 B．当时，的最小值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值是 【标准答案】D 【思路点拨】 由抛物线方程求得焦点坐标，再利用抛物线定义，数形结合找到的最小值. 【精准解析】 到直线的距离 抛物线的焦点为 根据抛物线的定义知 故 F到直线的距离 当时，的最小值是 故选：D 【名师指导】 本题考查应用抛物线定义相关知识求最值问题，属于中档题. 7．（2021·上海市实验学校高二期中）正方体中，P为面内的一动点，若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是（ ） A．一条线段 B．一段圆弧 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 【标准答案】C 【思路点拨】 利用线面垂直，将点到两直线的距离相等，转化为点到定点(在定直线外)和定直线的距离相等，从而由抛物线的定义可知，轨迹图形为抛物线的一部分. 【精准解析】 如图， 因为在正方体中，平面， 平面，所