专题08 双曲线重难点综合专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020（沪教版2020选择性必修一册））

编者小注： 本专辑专为2022年上海高二数学选修一研发，供中等生及以上学生使用。 题源主要来自于上海四校、八大、13名校、统考之试题，专练等。思路设计为选择题、填空题、解答题各10道，每道题都包含详细解析，难度从低到高，有难度层级，适合现在双减形式下的备课要求。 专题08双曲线重难点综合专练（解析版） 一、单选题 1．（2021·上海中学高二期末）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是 A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 【标准答案】B 【精准解析】 ，又由圆的几何性质可得，， ，且， 点到定点与的差为定值，根据双曲线的定义可得点的轨迹是双曲线的一部分，故选Ｂ． 2．双曲线绕坐标原点逆时针旋转后可以成为函数的图像,则的角度可以为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【标准答案】C 【思路点拨】 根据双曲线的渐近线和函数的定义可以选出正确答案. 【精准解析】 因为双曲线的渐近线方程为：,它们的倾斜角分别为,因此当双曲线绕坐标原点逆时针旋转时,两条渐近线方程分别为： ,此时符合函数的定义. 故选C 【名师指导】 本题考查了双曲线的旋转的性质,考查了函数的定义,考查了双曲线的渐近线方程的应用. 3．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则不可能为（ ） A． B． C． D． 【标准答案】D 【思路点拨】 求出双曲线的渐近线，结合直线的斜率求出直线的倾斜角即可得到结论． 【精准解析】 因为双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为， 设直线的倾斜角为， 由得斜率， 则， ∵， ∴， 双曲线的两条渐近线的夹角为， ∴ 而， 所以， 而， 所以， 综上可以为，也可以是，也可以是 所以双曲线的两条渐近线的夹角为，则不可能为：arctanb． 故选：D． 【名师指导】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，渐近线的夹角，反三角函数，属于中档题． 4．如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确 【标准答案】A 【思路点拨】 曲线的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确. 【精准解析】 曲线两边平方， 得，为双曲线的的部分， ，恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义， 知，又，∴，①正确； 曲线即抛物线，其焦点为，准线方程为， 由抛物线定义，知，②正确； 故选：A. 【名师指导】 本题考查双曲线与抛物线的定义，方程，属中档题，关键是利用双曲线和抛物线的定义进行转化求解. 5．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【标准答案】D 【思路点拨】 设点、、，根据这三点与双曲线以及渐近线的位置关系比较、、与、的大小关系，由此可得出结论. 【精准解析】 设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【名师指导】 关键点点睛：本题考查利用点与双曲线及其渐近线的位置关系比较代数式的大小关系，解题的关键在于根据点与渐近线、双曲线的位置关系寻找中间值来比较. 6．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（ ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【标准答案】C 【思路点拨】 根据题意找出几何关系，得到，所以，即可得到，可求点的轨迹. 【精准解析】 由已知条件可知 , 所以三角形是等腰三角形， , 因为 所以 则三角形是等腰三角形， 所以 所以点的轨迹是双曲线的左支． 故选：C 【名师指导】 关键点点睛：本题考查数形结合解集动点轨迹问题，本题的关键是根据图形，确定. 7．已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，且，直线与直线交于点，则点的轨迹为（ ）的一部分 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【标准答案】C 【思路点拨】 依题意画出图形，设直线的方程为：，直线的方程为：，分别将点A、B、C、D、P的坐标表示出来，由建立起关于p、q的方程，最后化简即可得出轨迹方程. 【精准解析】 设直线的方程为：，直线的方程为：， 所以点，，